《连续体力学》习题及解答4-1

因此

2222222?(2n)??12n12??2n2??3n3?(?1n12??2n2??3n3)?(?2??3)nn?(?3??1)nn?(?1??2)nn222232223122122 (a)

图4-1

(2) x处n方向上剪应力平方为?(2n)。以点x为坐标原点(球心)，取单位球面，采

用球坐标(图4-1)，则n的分量分别为

n1?sin?cos?，n2?sin?sin??? (b)

n3?cos??n方向的球面面元为da?d?d?sin?(0????，0???2?)。于是?(2n)在各个方向上的平均值可表示为

(?(2n))m?1??a?(2n)da?1??2?0d???(2n)sin?d?

0?将式(a)、(b)代入上式，?为单位球面面积，经运算后，可得 12(?n)m?[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]

15 注意到

I1(T)??1??2??3，I2(T)??1?2??2?3??3?1

则易于证明

(?(2n))m?22[I1(T)?3I2(T)] 15 4-9 设np(n)在方向上n*上取驻值，证明

p(n*)?(n*p(n*))n*并用Cauchy应力T的主应力?i(i?1，2，3)表示np(n)的驻

177

值。又在T的主方向坐标系内，证明下式成立

(?2??)(?3??)??2?n12(?2??1)(?3??1)2(?3??)(?1??)??2?n2(?3??2)(?1??2) 2(?1??)(?2??)??2?n3(?1??3)(?2??3)。 式中?和?分别是一点处n方向的正应力和剪应力 解 (1) 求np(n)的驻值问题是一个条件极值问题，约束条件是nn?1记

?(n)?np(n)??(nn?1)?nTn??(nn?1)

?为Lagrange乘子。求?的极值等价于

??*?n?2Tn?2?n*?o

即n*应满足

Tn*??n*?p(n*) (a)

式(a)表明，由式(a)可求出np(n)np(n)在T的主方向上取驻值，且?即为T的主值。的驻值为

n*p(n*)?n*?T?n*??n*n*?? (b)

上式表明，np(n)的驻值等于T的主应力，因此np(n)有三个驻值，亦即?(n)有三个驻值，分别等T的三个主应力。这反过来又说明了Cauchy应力的主应力是法向应力?(n)?np(n)的驻值。 由式(a)和(b)又可看出

p(n*)??n*?(n*p(n*))n*

(2) 在T的主方向坐标系内，T??i?ijei?ej，于是

p(n)?Tn??iniei?(n)?np(n)记?(n)为?，?(n)为?，则有

2222?2??12n12??2n2??3n3??2?

又22???1n12??2n2??3n3?? (c) ??22再结合n12?n2?n3?1，则可由式(c)解出

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?2?(???2)(???3)n??0(?1??2)(?1??3)21?2?(???3)(???1)n??0

(?2??3)(?2??1)22?2?(???1)(???2)n??0(?3??1)(?3??2)23证毕。根据以上三式，可在(?，?)平面上作出三个圆，即应力圆。

4-10 设p(n)和p(n')分别是变形体内某点P处n和n'方向的应力矢，证明

p(n)在n'方向的分量等于p(n')在n方向的分量。

解 已知p(n)?Tn，p(n')?Tn'，T为P点处的Cauchy应力张量。于是

p(n)?n'?(Tn)?n'?n'Tnp(n')?n?(Tn')n?nTn'由于T是对称张量，于是有p(n)n'?p(n')?n。证毕。

4-11 设变形体内任一点处的Cauchy应力张量T的分量矩阵为

?1?2x1x2?[T]??2x2?xx223??2x22x1x222x3???22x3?

1x1x2x3??23?2x2x322试求切于圆柱面??x2?x3?4?0且过点P(2，1，3)的截面上的应力矢、T的主

应力和主方向。

解 将x1?2，x2?1，x3?3代入应力分量矩阵，得到P点处的[T]为

?123?? [T]??246????361??在P点，圆柱面的梯度为

grad?P?2x2e2?2x3e3

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P?2e2?23e3

因此过P点切于圆柱面的截面方向n?截面上的应力矢为

13e2?e3。于是过该点切于圆柱面的 22?p?(n)P???3??123??0??1?23???1????????T??n???246?????2?33? ?2??1???3613????1??3?32???2??? 主应力由解下列特征方程求得

?3?I1?2?I3??I3?0

式中I1?6，I2??40，I3?0，代入上式可解出

?1?10，?2?0，?3??4

分别将主应力?i(i?1，2，3)代入下式

[T]{n(i)}??i{n(i)}

2，3，并与n(i)?n(i)?1联立求解，可分别求出对应于主应力?i的主方向n(i)，i?1，如下

n(1)?n(2)n(3)1701 ?(?2e1?e2)51?(e1?2e2?3e3)14(3e1?6e2?5e3)易证n(1)、n(2)、n(3)相互正交。

4-12 设x点处Cauchy应力张量T?Tk?k，其中T为标量，k为不变的单位矢。如果T是自我平衡的，证明 (1) T独立于xk

(2) x点处n方向的剪应力的平方为

?(2n)?T2(k?n)2[1?(k?n)2]

180

1 (3) (?(2n))max?T2

4 解 (1) T?Tk?k，因为T自我平衡，故有

??T?T,kk?0

即

?T?0，所以T独立于xk。xk?x?k。 ?xk (2) x处n方向的应力矢为

p(n)?T?n?T(n?k)k

于是

p(n)?p(n)?T2(n?k)2p(n)?n?T(n?k)2

所以

?(2n)?p(n)p(n)?(p(n)?n)2?T2(n?k)2?T2(n?k)4 ?T2(n?k)2[1?(n?k)2]令n?k?cos?，则由上面的结果可得 (3) 因为k是固定的单位矢，因此1?(2n)?T2cos2?sin2??T2sin22?

4式中sin22??1，所以

(?(2n))max?12T 4

4-13 如果物体B的体积为v，表面为?v，且处于平衡状态；证明 (1) Cauchy应力张量的平均为

(T)m?1Tdv ?vv可表示为

(T)m?11?(x?b?b?x)dv?(x?p(n)?p(n)?x)da ??v?v2v2v?为质量密度。 式中b为单位质量的体积力， (2) 若在v内b?o，及在?v上p(n)?Tn，T为常数，则(T)m?TI。

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