《连续体力学》习题及解答4-1 (3)

?T?JF?1T?[X?(JF?1T□)]T?X?(JTTF?1T□)?X?(?□) ?(X??)□?X?[□(?T)]由于物体处于平衡状态，□(?T)???0b0，所以

??VTdV??(X??)□dV??X??0b0dVVV

??X??NdA???0X?b0dV?VV提示，还可如下推导?T?X?(?□)。

?T?I?T?(X?□)?T?X?(?□　) (a)

(3) 已得?T?X?(?□)，则

F?T?FX?(?□)?x?(?□) (b)

于是采用与上面类似的推导过程，可得

?VF?TdV??x??NdA???0x?b0dV

?VV提示，式(b)也可如下导出

T?(F?T)ij?FiL?Lj?xi???XLjL?(xi)(?jL?) ?XL或者

F?T?x?(?□)

4-19 试推导用S??T、?及T三种应力表述的变率型运动方程，设参考和瞬时构形的坐标系重合。

?为名义应力S的物质时间导 解 首先推导三种应力变率之间的关系。记S数。于是由S??F?1可得

????FT??F?T (1) S由上式可解出

?F?1T?SF??S??1T (2) ?又由S?JF?1T，可得

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??JF?1[T??GT?(divv)T] (3) S由上式可解出

??F??J?1[FS?S?(divv)FS] (4) T?。 此处用到了T?J?1FS及GF?F 再由??SF?1T，可得

??SGT)F?1T?JF?1[T??(S??GT?TGT?(divv)T]F?1T (5) ?由上式可解得

??J?1F[???F?1F????F?TF?1T?(divv)?]FT (6) T 下面讨论一个特殊情况，即现时构形与参考构形重合，于是x?X，字母指标可一律采用小写(或大写)字母，以及J?1，F?F?1?I。或者换一种更一般的说法，设采用流动参考构形，则F及T、S、?都是相对于流动参考构形定义的。讨论瞬时构形与流动参考构形重合的特殊情况，即??t，此时Ft(t)?I，

?(t)?G，S???T。在式(1)到(6)中将F等都改为Ft(t)等，就得到相应的(简Ft化)公式

?(t)???(t)??(t)GT(t)?T?(t)?G(t)T(t)?[divv(t)]T(t) (7) Sttt 下面推导率型运动方程。在t和t?△t时刻，Lagrange型运动方程分别是

DivS(t)??0[f(t)?a(t)]?oDivS(t?△t)??0[f(t?△t)?a(t?△t)]?o

注意，此处的S、f和a都是以X为变量，X是与时间无关的。将以上两式相减，

t?0，将得到 且除以△t，再令△???(f??a?)?o (8) DivS0式(8)是对t时刻的构形建立的，其中已省去了场量S、f、a等的变量(x，t)。这是对于应力S建立的率型运动方程。

将式(1)代入式(8)，将得到对应力?建立的率型运动方程

??a?FT??F?T)??(f?)?o (9) Div(?0式(8)和(9)的分量式分别为

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??a???(f??i)?0，i?1，S2，3Li,L0i?? (10) ???i)?0，i?1，(?LMFiM??LMvi,M),L??0(fi?a2，3??T?T?T)??F式中用到了(?FLiLMMi??LMFMjGij??LMGijFjM??LMvi,M。

Cauchy应力T的率型运动方程是在t时刻的构形内建立的，实质上它可看成是以t时刻的构形为流动参考构形，并令瞬时构形与流动参考构形重合所得到的结果。为此，在式(8)和(9)中，以t时刻的质量密度?代?0，以Ft(t)代F等，以div代Div，再将式(7)代入式(8)或等价地式(9)，就得到对应力T建立的率型运动方程

??a??GT?(divv)T]??(f?)?o?div[T?? (11) ???(?ij?vj,k?ki?vk,k?ij),j??(fi?ai)?0??上式是数值分析中的重要公式。

式(11)也可值接导出如下，Euler型运动方程为

divT??(f?a)?o

x不变，时间由t变到t?△t，分别建立t和t?△t时刻此处x是独立变量之一。设的运动方程，再令两式相减，得到

div[T(t?△t)?T(t)]??(t?△t)[f(t?△t)?a(t?△t)]??(t)[f(t)?a(t)]?o t?0，得到 以△t遍除上式，并令△dTddiv()?[?(f?a)]?o (a)

dtdtd式中是空间时间导数，它与物质时间导数有如下的关系

dtDd?(?)(?)?(?)?v Dtdt?x于是式(a)可写作

???Tv)?[?(f?a)]????(f?a)v?o (b) div(T?x?x式中

?div(??(f?a)?T??T?v)-v??(divT)v?∶(??v)?[?(f?a)]v

?x?x?x?x?x根据Euler型运动方程，上式右侧一、三项之和为零。而

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??a?(f?a)??(f?)[?(f?a)]?????a?) ???divv(f?a)??(f??a?)?divv(divT)??(f将以上有关结果代入式(b)，得到

?T??a???(f?)?∶(??v)?divv(divT)?o (c) divT?x可以证明

??T?x∶(??v)?divv(divT)??div[GT?(divv)T] 这可用分量式证明如下

??ij,kvk,j?vk,k?ij,j???ij,kvk,j??ijvk,jk??ijvk,jk?vk,k?ij,j??(?

ijvk,j),k?(vk,k?ij),j上式的直接记法为

??T?x∶(??v)?divv(divT)??div[GT?(divv)T] 于是式(c)最后变为

div[T??GT?(divv)T]??(f??a?)?o 此即式(11)。

式(11)还可如下推导，注意到

divT?(DivT)F?1，F??1??F?1G 则Euler型运动方程可写成

(DivT)F?1??(f?a)?o

对上式求物质时间导数，得到

(DivT?)F?1?(DivT)F?1G???(f?a)??(f??a?)?o 式中

??(f?a)???(divv)(f?a)?divv(divT) 可以证明

(DivT)F?1G??T?x∶(??v) 实际上，(DivT)F?1G的分量表示为

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(d) ?lj,LXL,kvk,l??lj,kvk,l

其直接表示式为

?T∶(??v) ?x?)F?1?divT?，我们又得到式(c)，于是将以上有关式代入式(d)，并注意到(DivT(DivT)F?1G?从而可得到式(11)。

提示，此处及以下都不考虑应力变率的客观性问题。

4-20 试推导应力率边界条件

解 设以P(N)表示对应于S的应力矢，即有P(N)?STN，N为参考构形内物体边界的单位法线矢，则用S表示的应力边界条件为

??STN?SN PiiLLLiL或者

??STN P(N)?i是沿xi坐标轴方向的给定的应力分量。于是有 式中N不因时间而变，p??N?(???S?F??FG)N?PiLiLLMiMLMjMijL?? (a) ?TTT?N?NS??N(???S?F??F?)?P(N)? 如果要用Cauchy应力T表示应力率型边界条件，情况将稍复杂些。应力矢p(n)?T?n，n为瞬时构形内物体边界的法线矢，它也是随时间而变化的。于是有

??n?Tn?(n)?T? p?导出) 式中(可由式3-6-6及3-7-6以及(da)??(da)?n?dan??(nGn)n?GTn n最后得到

??? (b) ??i???ijnj??ij(nkvk,mnmnj?vk,ink)?p?

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??n?T[(nGn)n?GTn]?(n)?Tp

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