《连续体力学》习题及解答4-1 (5)

将上式写成

?F?1TFT(F?1)?T]?tr(T?D) ?tr[FTT?F?1T没式中FT(F?1T)?不能表示成应变张量的物质时间导数，所以一般地FTT有功共轭的应变。

类似地，可证

?F(F?1)?]?tr(?D) ?tr[TT上式可写成

?F(F?1)?]??tr[FF?1T?F(F?1)?]?tr[T?F(F?1)?F] ?tr[F?1T?)D?tr(T?一般地不能表示成应变张量的物质时间导数，所以一般其中?(F?1)?F?F?1F?F没有与之共轭的应变。 地F?1T 已知，在现时构形内dp(n)?Tnda，两侧乘J，得

?nda Jdp(n)?T?F?1T?T*，则T??F?1TT*FT，于是 记FTTJdp(n)?F?1TT*FTndaJFdp(n)?TFndaT*T

类似地可以导出

Jdp(n)?FT**F?1nda

或者

?F JF?1dp(n)?T**F?1nda，T**?F?1T

?V?VT?，即T?与V同轴，V为左伸长张量。试推导 4-35 设T?F?1T?F?1T?F?RTT?R FTT由此说明上列应力与E(0)?lnU功共轭。

解 已知F?VR，F?1?RTV?1，由此式可得RT?F?1V，R?VF?1T。 于是

207

?F?1T?RTVT?F?1T?RTT?VF?1TFTT?VF?1T?F?1VT?R ?F?1VT?F?F?1T?VF?1T?RTT?R，所以最后得到 又RTT?F?1T?F?1T?F?RTT?R FTT?R，所以题给应力张量与又知T(0)?RTTE(0)?lnU功共轭。

4-36 设应变张量Ef?F(U)，且有

U???iu(i)?u(i)i?13Ef??f(?i)u(i)?u(i)i?13

令T(f)是与Ef功共轭的应力，且记Tij(f)为T(f)相对于Lagrange主轴u(i)上的分量。证明

?(f)具有分量 (1) T?(f)??(L)T(f)??(L)T(f) Tijippjjppi(L)式中?ij是?(L)相对于u(i)的分量。

?f的正分量和剪分量分别为 (2) 如果T(f)与Ef同轴，则T?(f)(对i不求和)正分量：Tii (f)(L)(f)(f)?剪分量：Tij??ij(Tjj?Tii)，i?j，对i，j不求和 解 按题给条件，T(f)的分量式为

T(f)?Tij(f)u(i)?u(j)

对上式求物质导数，得

?(f)?T?(f)u(i)?u(j)?T(f)?(L)u(i)?u(j)?T(f)u(i)?u(j)?(L)TTijijij?(f)u(i)?u(j)??(L)T(f)?T(f)?(L)?Tij?f)u(i)?u(j)?(Tij在上式中，相对于u(i)，有

(L)(f)(?(L)T(f))ij??ipTpj

208

(f)(L)L)(f)?(T(f)?(L))ij??Tip?pj??(jpTpi

于是得到

?(f))?T?(f)??(L)T(f)??(L)T(f) (a) (Tijijippjjppi (2) 如果T(f)与Ef同轴，则有

3T(f)??T(f)iiu(i)?u(i)，(T(f))(f)ij?Tii?ij

i?1代入式(a)，得到

(T?(f))?T?(f)ij??(L)ipT(f)pp?pj??(L)jpT(f)ijpp?pi 所以T?(f)的正分量和剪分量分别为 ?(f) 正分量：Tii(??(L)ii?0)，对i不求和剪分量：?(L)(T(f)(f)j不求和 ijjj?Tii)，i?j，对i，。

4-37 求?R?dv的物质时间导数

解 题给体积分的物质时间导数为

DDt?R?dv????R?tdv???R?vinids ??R[???t?div(?v)]dv ??R[???t?(?vi),i]dv 注意到

D?Dt????t????xv????t??,ivi (?vi),i?vi?,i??vi,i于是式(c)可写成

DDt?R?dv??(???t??vi,i)dv 特别地

① 当??1，由式(c)或(d)得到

209

(a) (b) (c) (d) DDVdv???vi,idv，V??dv

RRDt?Rdt上式表明divv?vi,i是单位体积的体积变率。

② 如果物质不可压缩，则vi,i?0，于是由式(d)可得

DD??dv?dv ??RRDtDt ③ 当???，则??dv?M，物体的总质量；于是质量守恒定律表示为

RDDt?R?dv?0

按式(c)和(d)，上式可分别写成

???R?t?(?vi),i]dv?0

???R(?t??vi,i)dv?0[它们的局部形式分别为

?????(?vi),i?0或?div(?v)?0 (e) ?t?tD?D???vi,i?0或??divv?0 (f) DtDt??0，式(f)简化为以上两式是Euler连续性方程的局部形式。对于等容运动，?divv?0刚体运动总是等容的，而且D?o；于是G??，?ii?vi,i?0，所以

trG?divv?0

4-38 给出速度场

vi?xi，i?1，2，3 (1?t)t?0时，???0，试由连续性方程求密度场?(X，t)。 解 由式(4-1-6)或上题的式(f)，有

???divv?0 (a) ???式中???(X，t)，?

??(X，t)，又 ?t210

divv?vi,i?3 1?t将有关式代入式(a)，得到

d????3dt 1?t由初始条件t?0时，???0，积分上式可得密度场?(X，t)为

?(X，t)??0(1?t)3

4-39 证明Cauchy定律

?ij,j??fi??ai 可改写为

??t(?vi)??fi?(?ij??vivj),j 解 已知

a?vii?v?i??t??vi?xvj j及连续性方程(参见习题4-37，式e)

???t????xvj??vj,j?0 j将上式遍乘vi，得到

v??i?t??,jvjvi??vivj,j?0 将式(c)代入式(a)，再与式(d)相加，即得式(b)。

211

(6)

(a)

(b) (c) (d)

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新幼儿教育《连续体力学》习题及解答4-1 (5)全文阅读和word下载服务。