广东省茂名市2013届高三第一次高考模拟数学理试题及答案

绝密★启用前 试卷类型：

A茂名市

2013年第一次高考模拟考试

数学试卷（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区

域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1. 设集合A?{x|?1≤x≤2?,B?{x|?1≤x≤1?，则（ ）

2. 计算：i(1?i)?（ ）

A．2i

B．-2i C. 2 D. -2

12)?（ ）

2

3. 已知f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?log2x，则f(?A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2

????4. 已知向量a?(x?1,2),b?(2,1),则a?b的充要条件是（ ）

A．x?0

B．x?5

C．x??1

D．x??1212

5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为俯视图可以是（ ）

，则该几何体的

6. 已知函数y?sinx?cosx，则下列结论正确的是（ ） A. 此函数的图象关于直线x??C. 此函数在区间(???4,4

?4对称 B. 此函数的最大值为1

)上是增函数 D. 此函数的最小正周期为?

7. 某程序框图如图所示，该程序运行后， 输出的x值为31，则a等于（ ）ks5u A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

?x?y?3?8. 已知x、y满足约束条件?x?y??1，

?y?1?b?2若0?ax?by?2，则的取值范围为（ ）

a?1A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3]

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。 （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

29. 已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3?a9?2a5，则q= .

10. 计算 .

220）11. 已知双曲线x?ky?1的一个焦点是（5，，则其渐近线方程为 .

12. 若(2x?11x)n

的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .

3413. 已知2?1?2,2?1?3?3?4,2?1?3?5?4?5?6,2?1?3?5?7?5?6?7?8,… 依此类推，第n个等式为 .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。

?x?2?cos?14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为? (θ为参数)，则曲线

y?sin??C上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 215.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB

延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC， 若∠CPA＝30°，PC＝_____________

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）

如图，角A为钝角，且sinA?两边上不同于点A的动点.

（1）若AP=5，PQ =35，求AQ的长； （2）设?APQ??,?AQP??,且cos??17.（本小题满分12分）

某连锁超市有A、B两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B分店的统计结果如下表：

销售量（单位：件） 天 数 200 10 300 15 400 5 1213,求sin(2???)的值.

35，点P、Q分别是在角A的

（1）根据上面统计结果，求出B分店销售量为200件、300件、400件的频率； （2）已知每件该商品的销售利润为1元，?表示超市A、B两分店某天销售该商品的

利润之和，若以频率作为概率，且A、B两分店的销售量相互独立，求?的分布列和数学期望.

ks5u

18.（本小题满分14分）

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE^平面ABCD， ?BAD??ADC?90?，AB?AD?12CD?a,PD?2a.

（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

19.（本小题满分14分）

n?1已知数列{an},{bn}中，a1?b1?1，且当n?2时，an?nan?1?0，bn?2bn?1?2.

记n的阶乘n(n?1)(n?2)?3?2?1?n！ （1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{（3）若cn?

anan?2nbn2n}为等差数列；

?bn?2，求{cn}的前n项和. ks5u

20.（本小题满分14分）

已知椭圆C1：

xa22?yb22?1 （a?b?0）的离心率为33，连接椭圆的四个顶点得到

的四边形的面积为26.

（1）求椭圆C1的方程；ks5u

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直

线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）设O为坐标原点，取C2上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C2相交另外一点R，

求该圆面积的最小值时点S的坐标．

21.（本小题满分14分）

3（1）若a?1，求g(x)的单调减区间；

已知函数g(x)?1ax?2x?2x，函数f(x)是函数g(x)的导函数.

32（2）若对任意x1，x2?R且x1?x2，都有f(x1?x22)?f(x1)?f(x2)2，求实数a的

取值范围；

（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意

x?[M,0]时|f(x)|?4恒成立，求M的最小值及相应的a值.

茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）

参考答案及评分标准

一、选择题(每小题5分，共40分)

题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B 二、填空题（每小题5分，共30分） 9.

22； 10. e； 11. y??2x； 12. ?160；

13. 2?1?3?5???(2n?1)?(n?1)?(n?2)?(n?3)???(n?n)； 14. 3； 15. 33. 三、解答题（共80分）

16. 解：（1）??A是钝角，sinA?352n，?cosA??2245 ……ks5u………………1分

在?APQ中，由余弦定理得：PQ?AP?AQ?2AP?AQcosA 所以AQ?8AQ?20?0

121352 ……………ks5u………4分

解得AQ?2 或?10（舍去负值），所以AQ?2 …………………………6分 （2）由cos??13在三角形APQ中，????A??

,得sin?? …………………………7分

又sin(???)?sin(??A)?sinA?cos(???)??cosA?435, …………………………8分 …………………………9分

5?sin(2???)?sin[??(???)]?sin?cos(???)?cos?sin(???)………11分 ?513?45?1213?35?5665

………………………12分

11217. 解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为，

3和

16 ………3分

（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为

12， ……………4分

?的可能值为400，500，600，700，且 ……………5分

P（?=400）=P（?=600）=?的分布列为

12?13?1216?， P（?=500）=

12?1312??1612?131?12?512，

12?16?， P（?=700）=

12?12， ………9分

? 400 165500 512600 131700 112P 16 ……………10分

E?=400?+500?12+600?13+700?12=

16003（元） …………………12分

18.（1）证明：连结PC,交DE与N,连结MN，

?PAC中，M,N分别为两腰PA,PC的中点 ∴MN//AC………………2分

因为MN?面MDE,又AC?面MDE，所以AC//平面MDE ………………4分 （2）解法一：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为?，以D为空间坐标系的原

点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

????????P(0,0,2a),B(a,a,0),C(0,2a,0) PB?(a,a,?2a),BC?(?a,a,0) ………6分

???? 设平面PAD的单位法向量为n1，则可设n1?(0,1,0) ……………………………7分

???设面PBC的法向量n2?(x,y,1)，应有 ?????????n2?PB?(x,y,1)?(a,a,?2a)?0 ??????????n2?BC?(x,y,1)?(?a,a,0)?0

即：???ax?ay?2a?0???ax?ay?0

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