广东省茂名市2013届高三第一次高考模拟数学理试题及答案 (2)

?2x?????22?2解得：?，所以n2?(,,1) …………………………………………12分

222?y???2

2?????n?n212 ∴cos????1??? ……………………………………………………13分 ??21?2n1?n2 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°………………………………………14分 解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ……………………6分 ∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D ∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC ………………8分 ∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………10分 在Rt?△PDG中，DG?2AD?2a，PD=分

在Rt△CDH中，tan?DHC?CDDH?2a233a?3 ……………………………13

2a 可以计算DH?233a …12

分

所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°………………………………………14分

19. 解：（1）?an?nan?1?0, n?2，a1?1

?an?nan?1?n(n?1)an?2?n(n?1)(n?2)an?3????

?n(n?1)(n?2)?3?2?a1?n！ …………………………………………2分

又a1?1?1!，?an?n！ ………………………………………………………3分

n?1（2）由bn?2bn?1?2两边同时除以2n得

bn2n?bn?12n?1?12即

bn2n?bn?12n?1??12 …4

分

∴数列{bn2nbn2}是以n12为首项，公差为?12)?1?n212的等差数列 …………………………5分

n?12?(n?1)(?，故bn?2(1?1n?1?1n?2n2) ……………………………6分

nn?1（3）因为

anan?2?1(n?1)(n?2)?,bn?2??n?2 ………………8分

记An=

An?(12a1a3??13a2a4?13a3a5??????14anan?2?15

1n?11n?2121n?2)?(14)?()?????(?)?? ………10分

记{bn?2n}的前n项和为Bn

则Bn??1?20?2?21?3?22?????n?2n?1 ① ∴2Bn??1?21?2?22?????(n?1)?2n?1?n?2n ② 由

Bn?2?0②-①

?????n?得

?n?2?(1?2n)?2?1

nn：

2??n2?1n?1?2n1?2……………………………………………………………………………………13分 ∴Sn?c1?c2?c3?????cn=An?Bn?(1?n)?2?n12?1n?2……………14分

b …………1分

20. 解：（1）解：由e?由题意可知

3312，得a2?3c2，再由c2?a2?b2，解得a?62?2a?2b?26，即a?b?6 …………………………………2分

?6b?a?解方程组?2得a???ab?63,b?2 ………………………………………3分

所以椭圆C1的方程是

x23?y22?1 ………………………………………………3分

（2）因为MP?MF2，所以动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，所以动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，…6分

所以点M的轨迹C2的方程为y?4x …………………………………………7

2分

???????（3）因为以OS为直径的圆与C2相交于点R，所以∠ORS = 90°，即OR?SR?0

……………………………………………………………………………………8

分

???????设S （x1，y1），R（x2，y2），SR＝（x2-x1，y2-y1），OR=（x2，y2）

222???????y2(y2?y1)?y2(y2?y1)?0 所以OR?SR?x2(x2?x1)?y2(y2?y1)?16?16?因为y1?y2，y2?0，化简得y1???y2?? ……………………………10

y2??分

所以y1?y2?22256y22?32?2y2?2256y22?32?64，

2当且仅当y2?256y222即y2＝16，y2＝±4时等号成立. ………………………12分

圆的直径|OS|=

x1?y1?22y1416?y1?214y1?16y1?min4214(y1?8)?64

22因为y12≥64，所以当y12＝64即y1=±8时，OS?85， ……………13分

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）……………………14分

21. 解：（1）当a?1时，g(x)?由g'(x)?0解得?2?13x?2x?2x，g'(x)?x?4x?2 …………………1分

3226?x??2?6 ……………………2分

6,?2?6)；………………3分

?当a?1时函数g(x)的单调减区间为(?2?（2）易知f(x)?g'(x)?ax2?4x?2

依题意知 f(?a(??x1?x22)?f(x1)?fx(222

)2x1?x22)?4(22x1?x22)?2?ax1?4x1?2?ax2?4x2?22

a4(x1?x2)?0 …………………………………………………………5分

因为x1?x2，所以a?0，即实数a的取值范围是(0,??) ；………………6分 （3）解法一：易知f(x)?ax?4x?2?a(x?22a)?2?2a24a，a?0.

显然f(0)??2，由（2）知抛物线的对称轴x??①当?2?2?0 ………………7分

4a??4即0?a?2时，M?(?2a,0)且f(M)??4

令ax?4x?2??4解得x?此时M取较大的根，即M??0?a?2， ?M??2?4?2aa ……………………8分

??24?2a?2?2?4?2aa …………………9分

?24?2a?2??1 ………………………10分

2a②当?2?24a??4即a?2时，M??且f?M??4

令ax?4x?2?4解得x??2?4?6aa ……………………11分

?64?6a?2此时M取较小的根，即M??2?4?6aa? ………………12分

?a?2， ?M??64?6a?2??3当且仅当a?2时取等号 …………13分

由于?3??1，所以当a?2时，M取得最小值?3 ……………………14分 解法二：对任意x?[M,0]时，“|f(x)|?4恒成立”等价于“f(x)max?4且

f(x)min??4”

由（2）可知实数a的取值范围是(0,??)

故f(x)?ax2?4x?2的图象是开口向上，对称轴x??分 ①当?2a2a?0的抛物线……7

?M?0时，f(x)在区间[M,0]上单调递增，

∴f(x)max?f(0)??2?4， 要使M最小，只需要

f(x)min?f(M)?aM2?4M?2??4………8分

若??16?8a?0即a?2时，无解

若??16?8a?0即0?a?2时，………………9分 解得M??2?4?2aa??2a（舍去） 或M??2?4?2aa??1

故M??1（当且仅当a?2时取等号）…………10分 ②当M??在(?f(?2a2a2a时，f(x)在区间[M,?2a]上单调递减，

,0]递增，f(0)??2?4,

4a)??2???4则a?2，…………………11分

2要使M最小，则f(M)?aM?4M?2?4即

aM2?4M?6?0 ……………………………………………………………12分

?2?4?6aa4?6aa?解得M?或M?分

??2a（舍去）

??3（当且仅当a?2时取等号）……13

?2??64?6a?2综上所述，当a?2时，M的最小值为?3. …………………………………14分

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