07数学-林顺风改 - 图文

浙江外国语学院

本科毕业设计（论文） ( 2011届 )

题 目： 浅谈数学归纳法在数学中的应用

学 院： 理工学院

专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 林顺风 学号： 20075141031 指导教师： 王健 职称： 讲师 合作导师： 职称： 完成时间： 20 11 年 5 月 30 日 成 绩：

浙江外国语学院本科毕业设计(论文)正文 目录

摘要 ............................................................................................................................... 1 英文摘要 ....................................................................................................................... 1

1 引言 .................................................................................................................... 2 2 预备知识 ............................................................................................................ 2

2.1 数学猜想、归纳、类比的定义 .............................................................. 2 2.2 数学归纳法的概述 ................................................................................ 3 2.3 数学归纳思想与数学归纳法 .................................................................. 3 3 主要内容 ............................................................................................................ 5

3.1 猜想论证法 .............................................................................................. 5 3.2 类比法的应用 .......................................................................................... 9 3.3 数学归纳思想的应用 ............................................................................ 13 4 总结 .................................................................................................................. 16 参考文献 .............................................................................................................. 17

浙江外国语学院本科毕业论文·浅谈数学归纳法在中学数学中的应用 浅谈数学归纳法在数学中的应用

理工学院数学与应用数学 林顺风(20075141031)

指导老师:王健(讲师)

摘要:基于近年来在高考中数列比重（约为13%）出现的阶段性，而数学归纳法作为解决恒等式、不等式、数的整除性、几何中的计算问题、数列的通项与和等问题的重要手段，其地位已经不言而喻了.本文着重从猜想、归纳、类比的定义出发来了解数学归纳法过程和思想，从而将数学归纳法灵活应用于诸多不连续问题和定理的推广等等.同时，对数学猜想的五种常见推导方法进行了归纳与总结，然后通过先猜想后用数学归纳法证明的方法解决了一些常见问题和高考中数列与函数结合的难题.

关键词:数列,数学归纳法,猜想,归纳.

The application of mathematical induction in

mathematics

Lin Shunfeng Director: Wang Jian

（Dept.of Mathematics, Zhe jiang International Studies University, 07 . No.31）

Abstract: Since the high occurrence frequencys of number sequence problem in College entrance examination (about 13%),mathematical induction, a important way to solve the problems of identity、inequality、divisibility、geometric calculation 、sequences general term, has gradually played an important role. In this article, we try to know more abut the idea of mathematical induction by studying its guess, induction and analogy, in order to make the mathematical induction applied widely in discrete problems. Also, we show five usual ways for mathematics conjecture , solve some common questions and some difficulties involving both sequence and fuction.

Keywords: sequence, mathematical induction, guess, induce.

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浙江外国语学院本科毕业论文·浅谈数学归纳法在中学数学中的应用 1 引言

在数学发展过程中,曾经出现了许多形形色色的数学猜想,如:“哥德巴赫猜想”、“费尔马猜想”、“四色猜想”等等.在猜想和解题的过程中会运用到许多重要的数学思想方法.尤其是在解决有关数列与函数相结合的问题上,先猜想再用数学归纳法证明起着尤为重要的作用,是研究、探讨这类问题的重要桥梁.近年来,许多的数学爱好者对猜想、归纳、类比?1?作了大量的努力与研究,并取得了许多重要的成果.比如陈辉,叶力军学者在类比和归纳——数学发现的重要方法方面；张惠良学者等在猜想与数学归纳法的应用方面作了很多研究.同时瞿冬鸿学者，谭佩贞,黄素玲学者等也在浅谈类比法猜想数学命题方面也作了大量的研究?2?.

数学归纳法作为高考考查的重点内容. 在高考中,灵活运用各种数学思想方法,以“观察---归纳---猜想---证明（数学归纳法）”为思维模式的问题及解决数列与函数相结合的实际问题是近年来高考的常用模式.因此，如何猜想和运用数学归纳法证明是中学数学教学的一个重点.掌握了猜想的方法就如同掌握启开数学知识大门的钥匙.

2 预备知识

2.1 数学猜想、归纳、类比的定义?3?

定义1 数学猜想，是根据一些已知事实和数学知识，对未知的对象及其关系做出的一种似真的推断.它具有一定的科学性的同时，也具有某种假定性（当然，这样的假定性命题正确与否，还需通过论证）.

定义2 归纳作为一种数学思想方法是指通过对特例的分析去引出一般性的推论；主要是通过实验、观察和分析,从而归纳出结论.

定义3 类比是指分析已知两类事物之间所具有的某些共同特点，从而推测它们在其他的性质上也可能相同的一种推理方式.

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浙江外国语学院本科毕业论文·浅谈数学归纳法在中学数学中的应用 2.2 数学归纳法的概述

2.2.1 常用数学证明方法?4?

数学是一门非常重视思想方法的学科,常用的数学方法大致有以下几种： 演绎推理——从一般到特殊的推理方法叫做演绎推理，它又称演绎法.

归纳推理——由特殊到一般的推理方法叫做归纳推理，它又称归纳法.归纳推理通常分为完全归纳法和不完全归纳法两种.

不完全归纳法——根据某类事物中个别事物具有某种属性，推出该类事物全体都具有这种属性的归纳推理，叫做不完全归纳法.

完全归纳法——是指通过研究了事物的所有（有限）特殊情况从而得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.

数学归纳法——数学归纳法是证明与自然数n相关的命题的一种方法.

2.2.2数学归纳法的定义?5?

数学归纳法: 数学归纳法是一种先通过证明首个例子的正确性,然后再用递推的方式证明命题正确性的一种方法.常用来证明与自然数n有关的命题. 2.3 数学归纳思想与数学归纳法

先从少数的事例中摸索出规律,再通过已有的理论论证这一规律的正确性 ,这是人们的研究客观法则的常用方法.人们认识客观事物,通常都是由简到繁,由有限到无限,此过程有质的飞跃,解释这个飞跃现象的原理,就是数学归纳法.随着科技的进步,计算机技术的日新月异,离散数学在计算机的研究中的地位越来越高.而离散数学中很多命题的论证,都离不开数学归纳法.

,??????.你能找出它们之间的规律吗？ 观察下列数字 11,31,41,61,71,101通过观察我们发现，这一列数是从小到大逐一排列的,并且每个数的个位都是1，同时每个数都是素数.这就是六个数的共性和规律，由此我们可以看出这是一列“所有末位数为1的从小到大的素数”的数列.因此下一个数是131，再下一个是151.

这就是一个数学归纳过程，从一些特殊事例中发现一般规律.

数学归纳法是专门证明与自然数n有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳

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