07数学-林顺风改 - 图文 (4)

浙江外国语学院本科毕业论文·浅谈数学归纳法在中学数学中的应用 证明：

①当n?1时，a1?1?12成立，

②假设n?k（k?2）时，ak?k2成立， 则当n?k?1时，

11?aan?111由条件2??n?2?化简得：

an?11?1annn?12??111?1. ?k?k?1??2??2??2ak?1ak?1?k?kk?k2?k?1?k2?k?1?. ?ak?1??2k?k?1k?1??k?1?2?k?1??2k3?1?ak?1??k?1??21， k?1因为当k?2时， k3?1?(k?1)2?k?k?1?(k?2)?0，

?0?(k?1)2?k3?1.

?k?1?所以

32k?1??0,1?，

1??0,1?. k?1222因为k?1?1，则

由ak?1???，所以?k?1??ak?1??k?1?.故ak?1??k?1?，即n?k?1时，

an?n2成立.

由(i)(ii)知，对任意的n???，an?n2.

（2）、设实数q满足q?1,数列?an?满足：a1?2,a2?0,an?an?1??qn,求an表达式，又如果limS2n?3,求q的取值范围.

n??解：因为a1?2,a2?0,则a1?a2??q,

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浙江外国语学院本科毕业论文·浅谈数学归纳法在中学数学中的应用 q因为q?0,即a2??,所以an?an?1??qn,an?1?an?2??qn?1.

2两式相除，得

an1?,即an?2?q?an. an?2q于是， a1?2,a3?2q,??????,a2k?1?2qk?1；

111a2?-q,a4??q2,??????,a2k??qk.

222?1?n2??2q 当n?2k?1时(k?N)综合①②，猜想通项公式为an?? n1??q2 当n?2k时(k?N)??2下面用数学归纳法证明： (1)当n?1,2时,a1?2q1?1211?2，a2??q2??q,猜想成立，

222(2)设n?2k?1时，a2k?1?2?qk?1，则n?2k?1时，

由于a2k?1?q?a2k?1，所以a2k?1?2?qk即当n?2k?1成立时，可推知n?2k?1也成立.

1设n?2k时，所以a2k???qk,

2则n?2k?2时，由于a2k?2?q?a2k,

1所以a2k?2???qk?1，,这说明n?2k成立，可推知n?2k?2也成立.

2综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.

?1?n2??2q 当n?2k?1时(k?N)这样所求通项公式为an??. n1??q2 当n?2k时(k?N)??2那么S2n??a1?a3?????a2n?1???a2?a4?????a2n?

?21?q?q2?????qn?1????1q?q2?????qn2?

2(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()().

1?q2(1?q)1?q215

浙江外国语学院本科毕业论文·浅谈数学归纳法在中学数学中的应用 14?q)()， 由于q?1,因为limqn?0,故limS2n?(n??n??1?q2依题意知

24?q?3,解得q?，（1）

52(1?q)因为q?1,

（2） ??1?q?0且?1?q?0，

2. 51k?1k?2sinxdx (k?z) （3）、证明:?sinkxdx??sink?1xcosx?kk?1?1sin1?2xdx 显然成证明:(i)当k?1时,?sinxdx??cosx?C??sin1?1xcosx??1由（1），（2）知：?1?q?0或0?q?立.

1n?1n?2sinxdx，则 (ii)当k?n时，有?sinnxdx??sinn?1xcosx??nn（iii）当k?n?1时，?sinn?1dx???sinnxdcosx

??sinnxcosx??cosxdsinnx ??sinnxcosx?n?sinn?1xcos2xdx ??sinnxcosx?n?sinn?1x(1?sin2x)dx ??sinnxcosx?n?sinn?1dx?n?sinn?1xdx

? ?sinn?1xdx??综上，命题得证.

1nn?1sinnxcosx?sinxdx. ?n?1n?14 总结

猜想、归纳、类比等数学思想方法的掌握是中学数学学习的重要内容，是初等数学与高等数学之间的桥梁.在运用猜想解题的过程中出现最频繁的方法就是归纳与类比，而如何猜想则成为解决问题的关键所在，正确地猜想结论是解题的重点.对于数列与函数结合问题很多考生都感到困难较大，是由于求解数列通项公式或一些

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浙江外国语学院本科毕业论文·浅谈数学归纳法在中学数学中的应用 证明题时常常需要渗透多种数学思想方法，尤其是在一些综合性相对比较强的数列问题中，求解过程往往方法不一、技巧性较强，需要我们对具体问题进行具体分析.这种延伸不是机械的重复与叠加的过程，而是对课程意义重建与提升的创造过程.本文的猜想、归纳及类比的应用比较简单，举例还不够全面，方法也比较单一，技巧性不强.希望读者根据自己的实际情况,对其进行拓展和深化.本文首先归纳总结中学数学中三种常见的数学思想的定义及其处理方法，然后给出直观猜想、归纳猜想等猜想的五种方法及其应用，再给出求解数列的通项公式或证明的，应用以上数学思想方法，最后将几种思想融入其中进行简单的分析.

希望读者根据自身知识水平通过实践，真正掌握数学归纳法精髓所在！ 参考文献

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