07数学-林顺风改 - 图文 (8)

S1?R1S2?R2?sin?12sin?13sin?14sin?21sin?23sin?24S3?R3S4?R4 ??sin?31sin?32sin?34sin?41sin?42sin?43?2R1R2R3R42222证明：如图3.3 A1A2A4A3 图3.3 四面体A1A2A3A4的底面为S1，则S1?1A2A3?A2A4?sin?A4A2A3由题中所设，2有A2A3?2R4sin?14，A2A4?2R3sin?13， A3A4?2R2sin?12，sin?A4A2A3?A3A42R2sin?12R2??sin?12. 2R12R1R1?S1? ?1A2A3?A2A4?sin?A4A2A3 2R12R4sin?14?2R3sin?13?2sin?12 2R12R2R3R4sin?12sin?13sin?14. R1 ?11

R1等式两边都乘以,得 sin?12sin?13sin?14S1?R1?2R1R2R3R4. sin?12sin?13sin?14同理可得： 22S2?R2?2R1R2R3R4； sin?21sin?23sin?24S3?R3?2R1R2R3R4； sin?31sin?32sin?34S4?R4?2R1R2R3R4. sin?41sin?42sin?43即： 222S1?R1S2?R2?sin?12sin?13sin?14sin?21sin?23sin?24S3?R3S4?R4 ??sin?31sin?32sin?34sin?41sin?42sin?43?2R1R2R3R42222参考文献 [1] 张志淼．数学学习与数学思想方法[M]．郑州：郑州大学出版社，2006：102—137． [2] A[德国]恩格尔著，舒武昌,冯志刚译．解决问题的策略[M]．上海：机械工业上海教育出版社，2001：270—290． [3] 谭佩贞,黄素玲．浅谈类比法猜想数学命题[J]．南宁师范高等专科学校学报，1999，（2）：48-52． [4] 陈显强．浅谈归纳法和类比法在数学中的应用[J]．广东电视大学学报，1999，（2）：23-27． [5] 陈辉，叶力军．类比和归纳——数学发现的重要方法[J]．杭州师范学院学报, 12

2001，（2）：45-49． [6] 张惠良．提出数学猜想到一些途径[J]．数学教学研究，2005，（3）：13-15． [7] 梁宗巨. 数学家传略辞典[M ] .济南:山东教育出版社, 1989 . [8] KL I N EM. Mathematical Though t from Ancient to Mordern Times [M].New York: Oxford Univ Press 1972. [9] EDWARDS F. Passcal’s Arithmetical Triangle [M ] . New York: Oxford Univ Press,1987 . [10] CAJOR I F. Origin of the name“Mathematical Induction” [J].Amer Math Monthly, 1918, 25 (5):4352451 . 13

浙江外国语学院本科毕业设计(论文)开题报告

学 院 学生姓名 指导教师 合作导师 论文题目 理工学院 林顺风 王健 专业 学号 职称 职称 浅谈数学归纳法在数学中的应用 数学与应用数学 20075141031 讲师 一、选题背景和意义 数学归纳法可以说是贯穿了整个数学的始终，就像我们大家所熟知的奇数与偶数的定义，合数与质数，等腰三角形与等边三角形定义，等差数列与等比数列的定义等等都是由归纳与类比得出来的，在看近几年的高考题时，我看到了几乎每个省每一年的高考题都会涉及用数学归纳法证明或是求解数列的问题.而我们读师范类院校的同学们毕业以后很有可能成为教师，作为教师的职责就是为学生们服务，我想初中的教师就应该研究中考题，高中的教师应该研究高考题，要是以后我们成了一名高中教师，我们就必须去把握高考动向，透彻把握高考考点，研究数学归纳法一方面可以为高考服务. 对于数学归纳法的深入研究，重在运用它去解决或证明一些问题，在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用.例如在中学数学中的许多重要定理或结论都可以用数学归纳法来证明.比如等差数列、等比数列的通项公式以及二项式定理.当然，我们在重视它的应用的同时，也不要忘记它的审美价值和哲学价值.数学是自然界中所有美的集合，也是哲学辩证思维和逻辑思维的重要组成部分. 二、国内外研究现状、发展动态 对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述.例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了对数学归纳法本质的理解，有助于学生更好地、合逻辑地运用数学归纳法证题，也有助于学生克服对于数学归纳法的模糊甚至是错误认识.文中还指出了数学归纳法与归纳法、完全归纳法是完全不同的证题方法，只是没有对一三者的内在关系进行系统详细地阐述。罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性.在此文中还引述了一些学者的观点，就数学归纳法的本质进行了表述. 刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第H型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步14

本科毕业设计（论文）开题报告

开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;李淑文、孙德菊在《累积数学归纳法》一文中，比较了数学归纳法的第一种形式和第二种形式，并就第二种形式，即累积数学归纳法作了举例说明。以上三篇论文都是针对数学归纳法的形式或构造的论述. 邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别.文中提到了不完全归纳法，但未作深入论述。唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中指出:“早在五十年代的苏联的教学法书籍中，己明确指出数学归纳法是演绎法的特殊形式;八十年代的中国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点不能不令人遗憾.”①即使是现在的中学教材也还是没有改进这些. 齐智华在((’’数学猜测”的教学构想与实践》一文中，介绍了“数学猜测”的教学纲目，给出了作者编选猜测习题的原则，并进行了实例说明.文中讲述了“教猜测”和“教证明”的同等重要性，用作者自身的实践说明:教猜测对所有层次的学生都具有普遍意义.此文以教学纲目的形式，给出了先由归纳猜测结论，再由数学归纳法进行证明的思维方法，但没有展开论述. 除以上这些论文以外，还有数量不少的文章从数学归纳法教学的细微处着眼，举例说明了学生在学习数学归纳法过程中常见的错误，并进行了剖析。一些论著也提到了数学归纳法，把它作为一种证明方法进行了简洁的阐述.例如，徐利治先生著的《徐利治论数学方法学》中，收集了以下几篇文章，从归纳与猜想的角度说明了数学归纳法教学的重要性，它们是《数学家是怎样思考和解决问题的》、《流与源—不容忽视的创作源泉》、《浅谈数学方法学》、《漫谈学数学》等.李文林著的《数学史概论》中，也阐述了数学归纳法的理论.此外，华罗庚著的《数学归纳法》、洪波著的《怎样应用数学归纳法》、G·波利亚的《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学中的归纳法与类比法》等著作，大多从理论方面论述了数学归纳法和归纳法在数学教学中的重要性和价值. 我国的数学期刊或数理杂志，如《数学教育学报》、《数学通于及》、《数学通讯》、《中学数学教学参考》、《数学教学》等，刊载的相关文章大都从各个角度具体阐述了数学归纳法教学中常见的问题，但少有从整体上进行系统论述的.本文将对数学归纳法进行较为完整的系统论述. 15

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