07数学-林顺风改 - 图文 (7)

另一批评来自雅各布·伯努利(J.Bernoulli,1654- 1705).1686年在德国莱比锡出版的 《学艺》(Actaeruditorum )中,指出沃利斯方法的问题并引入从n到n+1的论证着手改进这个方法.在他去世后(1713年)出版的巨著 《猜度术》(Ars Conjectandi)里,他写进一个更详细的对沃利斯的方法的批评,并应用从n到n+1的论证来证明二项式定理.因此,雅可比·伯努利应作为数学作纳法的另一发明者. 这段历史向人们昭示了:归纳法,由于它的不完全性而导致了数学归纳法,这是归纳法与数学归纳法的认识论上的联系,因而也造成了它们之间的历史性联系. 3、数学归纳法各种名称及其历史 无论是毛罗利科还是帕斯卡,也无论是伯努利还是其后的数学家们,虽然都在不断地使用数学归纳法,但在很长的时期内并没有给他们的方法以任何名称.只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作,才引进了“归纳法” 这一名称, 并在两种截然不同的意义上应用于数学: (1)以特例获得一般结论的沃利斯方式;(2)指定从n到n+1的论证. 并且影响了其后的数学家们,使这种混用状态大约持续了140 年.例如,19世纪上半叶,英国的数学家皮科克(G. Peacock,1791-1858)在他的《代数学》(Treatise on Algebra, 剑桥,1830)的排列与组合部分,谈到“构成的规律用归纳法延伸到任意数”,是从“预测”意义上以沃利斯方式使用 “归纳法”的.后来,他又将从n 到n+ 1的论证称之为“证明归纳法”(demonstrative induction). 在名称上迈出重要一步的是英国数学家德摩根(A.deMorgan,1806-1871) ,1838年在伦敦出版的 《小百科全书》 (Penny Cyclopedia)中,德摩根在他的条目“归纳法(数学)”里建议使用 “逐次归纳法”(Succesive induction),但在该条目的最后他偶然地使用了术语“数学归纳法”,这是我们所能看到这一术语的最早一次使用. 皮科克和德摩根的名称后来为英国数学家托德亨特(I.Todhunter,1820- 1884)的 《代数》 (1866 年第 4版)所采用并因而得到广泛传播. 他在该书中介绍这种证明方法时, 使用了两个名称:“数学归纳法” 和 “证明归纳法” , 但该章的题目却用的是前者. 这两个名称后来又为英国逻辑学家杰文斯(W.S.J evons,1835- 1882)的 《逻辑初等教程》 (Elementary Lessons in Logic,1882)以及菲科林(J.Ficklin)的《完全代数》(Complete A lgebra,1874)所使用, 后者宣称是受惠于托德亨特. 随着时间的推移, 后来的通用教科书的作者们, 例如英国教育家、 数学家克里斯托尔(G. chrys2tal, 1851- 1911)的 《代数》 第 2 卷以及霍尔(H. S . Hall)和纳特(S . R. Knight)合著的 《代数》 (1898)、 奥尔迪斯(W.S.A ldis)的 《代数教科书》 (Textbook of A lgebra,1887)等都只用 “数学归纳法” 而不再使用 “证明归纳法” . 由此看来,“数学归纳法” 的名称, 是由英国的数学家创立并由英国的教科书作者们加以普遍采用, 而使之广泛流行的. 在欧洲大陆,也使用 “数学归纳法” 的名称, 但不普遍.德国数学家戴德金(J. W. R. Dedek ind,1831- 1916)在他的著作《数的意义》(Was Sind und was sollen die Zahlen,1887)的第59节和第80节中使用“完全归纳法”(Vollst andige Induction).法国大数学家庞加莱(J. H. Po incare,1854-1912)不限于用一个固定名称. 例如,他曾使用过 “递归法证明” (démonstration par récurence)、“递归推理” ( raisonnement par récurrence)等名称.后来20世纪的一位学者丹齐克(T. Dantzig)在他的 《数,科学的语言》 (1938)中宣称,“数学归纳法” 与 6

“完全归纳法” 都是误用, 只有 “递归推理” 可以接受. 这是因为“归纳法”这个词会给这个方法带来完全错误的理解.现代美国数学家、数学教育家波利亚(G.Polya,1887- 1985)曾这样评论“数学归纳法”这一名称的: “归纳法是通过对特例进行观察与综合以发现一般规律的过程. 它用于所有科学甚至数学. 数学归纳法则仅在数学中用以证明某类定理. 从名称上看, 二者有联系,这点毋宁是不幸的. 因为二者在逻辑方面的联系极少. 不过两者之间还有某种实际联系; 我们常把两种方法一起使用. ” 波利亚进一步又说道: “上述过程是常用的, 它应该有个名字. 我们可以叫它 ‘从n到n+ 1的证明’ 或简单些 ‘过渡到下一个整数’.遗憾地是, 大家所接受的专业术语却是‘数学归纳法’.这是随便起的. 我们所必须证明的精确推断可来自任何来源, 从逻辑观点看来,来源如何, 无关紧要. 现在,在许多情况下,?其来源是归纳, 推论是用实验方式找到的, 因此, 证明象是归纳的一种数学补充;这是对上述名称的一点解释”. 波利亚对数学归纳法的这段解释, 既符合历史事实,也沟通了归纳法与数学归纳法之间的认识论上的联系.特别地,揭示了数学归纳法的递归推理的本质. 如果“数学归纳法”这一名称能启发我们想到与“归纳法”的这种实际联系的话,那么这个名称的“误用”就化为一种提示作用. 2、预备知识 1、数学猜想、归纳、类比以及数学归纳法的定义 定义1 数学猜想，是根据一些已知事实和数学知识，对未知的对象及其关系作出的一种似真的推断。它具有一定的科学性同时，也具有某种假定性（当然，这样到假定性命题正确与否，还需通过论证）。其中猜想论证法分为： （1）极限猜想法，即把观察对象推向某个极端，然后求其在这个极端情况下的取值. （2）图像直观猜想 （3）归纳性猜想是指通过对部分特定对象的研究，从而归纳整理出对象的共同特征，最后提出猜想的一种方法. （4）类比性猜想是指依据已知的两个（或两类）对象在某方面的相似或相同的特点，从而猜测它们其它方面也具有相似或相同的特点的一种猜想方法. （5）一般化猜想是指将待解决的特殊问题加以推广，从而提出一个比原命题更加一般的猜想. 定义2 归纳作为一种数学思想方法是指通过对特例的分析去引出一般性的推论；主要是通过实验、观察和分析,从而归纳出结论. 定义3 类比是指分析已知两类事物之间所具有的某些共同特点，从而推测它7

们在其他的性质上也可能相同的一种推理方式. 类比是一种最活跃、最基本的推理形式 ,它有着自身的一些特点: 跳跃性、可靠程度低. 纵观人类的科技进步发展史 ,人们很快地发现 ,尽管类比法的可靠性不高 ,但它依然被广泛地应用.许多科学家、发明家,数学家、通过类比法 ,创造出了更多的新理论 ,发明了许多实用技术与机器 ,并因此不断地推动社会发展.类比法在数学的发展中也有着很重要的作用. 数学归纳法的定义 数学归纳法: 数学归纳法是一种先通过证明首个例子的正确性,然后再用递推的方式证明命题正确性的一种方法。常用来证明与自然数n有关的命题. 2、常用数学证明方法 数学是一门非常重视思想方法的学科,常用的数学方法大致有以下几种： 演绎推理——从一般到特殊的推理方法叫做演绎推理，它又称演绎法. 归纳推理——由特殊到一般的推理方法叫做归纳推理，它又称归纳法。归纳推理通常分为完全归纳法和不完全归纳法两种. 不完全归纳法——根据某类事物中个别事物具有某种属性，推出该类事物全体都具有这种属性的归纳推理，叫做不完全归纳法. 完全归纳法——是指通过研究了事物的所有（有限）特殊情况从而得出一般结论的推理方法，又叫枚举法. 数学归纳法——数学归纳法是证明与自然数n相关的命题的一种方法. 3、正弦定理与余弦定理 正弦定理：对于任意三角形ABC,对应三边为a,b,c,三角形ABC外接圆半径为R，成立： abc???2R. sinAsinBsinC 余弦定理：对于任意三角形ABC,对应三边为a,b,c,成立任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积,即 a2?b2?c2?2bccosA; 8

b2?a2?c2?2accosB; c2?b2?a2?2bacosC. 3、正、余弦定理的推广 （1）余弦定理的推广 在任何一四面体中,它的一个面面积的平方等于其它三个面面积的平方和,减去这三个面中每两个面的面积与它们所夹二面角余弦的积的两倍. 证明: 设三角形ABD,ACD, BCD,ABC的面积分别为S1,S2,S3,S4,并且记S1与S2所成的二面角为Q1?2 ,S1与S3所成的二面角为Q1?3, S1与S4所成的二面角为Q1?4, S2与S3所成的二面角为Q2?3 ,S2与S4所成的二面角为Q2?4,S3与S4所成的二面角为Q3?4,则成立 (S3)2?(S1)2?(S2)2?(S4)2?2*S1*S2*cosQ1?2?2*S1*S4*cosQ1?4? 2*S2*S4*cosQ2?4. 证明:如图3.2 9

ADGHBECF 图3.2 S3?S1*cosQ1?3?S2*cosQ2?3?S4*cosQ3?4, (1) 将(1)式两边都乘以S3,得 (S3)2?S3*S1*cosQ1?3?S3*S2*cosQ2?3?S3*S4*cosQ3?4 ?S1*(S1?S2*cosQ1?2?S4*cosQ1?4)?S2*(S2?S1*cosQ1?2?S4*cosQ2?4)? S4*?S4?S1*cosQ1?4?S2*cosQ2?4? ?(S1)2?(S2)2?(S4)2?2*S1*S2*cosQ1?2?2*S1*S4*cosQ1?4?2*S2*S4 *cosQ2?4. 证毕. （2）正弦定理的推广 四面体A1A2A3A4的四个面为?i（以下i?1,2,3,4），所对定点为Ai，其面积依次为Si每个面得三角形的外接圆半径为Ri，每个面得三角形三条边在另外三个面所在三角形的对应角为?ij（i,j?1,2,3,4,且i?j）（如?14表示顶点A4所对应的三角形A1A2A3角A1的度数），则成立： 10

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