A.
??j2,?j?0? B.
?x,s?y]?0[s C.
[?x,?y]?0 D.
??x,?y??1
5、
??x??y??z???（B）
A. 0 B.i C. 1 D. -1 二、判断题（每小题4分，共20分。）
1、电子具有自旋角动量是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度（对） 2、考虑电子的自旋后，电子的波函数是两行一列的矩阵（对） 3、电子具有自旋角动量是可以用经典力学来解释的（错） 4、自旋角动量不是一个力学量（错）
5、两个电子的自旋可以构成自旋单态和自旋三重态（对） 三、计算题(共三题，共60分)
1. 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。
???S?s1?s2假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：。
??2S1）求：S和z的本征值；[10分] 解：1）自旋三重态（spin triplet） 空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：
?s???????????1??????????2
2对应总自旋平方S本征值为：2?2
对应总自旋第三分量
Sz本征值分别为：
?,??,0
??2S2）假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，S和z的本征值；[10分]
解：自旋单态（spin singlet）
?空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：
A?12???????
对应总自旋平方S本征值为：0
2对应总自旋第三分量
Sz本征值分别为：0
3）假设两电子系统哈密顿量为：
??H?Js1?s2，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。[10分]
解：哈密顿：
??H?Js1?s2s1?s2?S2?s1?s2222，利用：
2??2?针对自旋三重态：
234?2s1?s2?2??24，对应能量：
ET?J4?2
0?2?针对自旋单态：
34?2s1?s2?2??3?42，对应能量：
ES??3J4?2
求在下列状态下
2?j和
?jz的可能测值。
?1(sz)???2.在自旋态下
2?1??0?，求?sx和?sy。 [10分]
22解：
?sx2是
?xs2的均方偏差
?sx?sx?(sx)222
?sy2是，
?ys2的均方偏差
?sy?sy?(sy)222
?x?s212(sz)??24?1(sz)2
?2?x?1(sz)?sx??1(sz)s22224
?2sx???212?x?(sz)s12(sz)??12(sz)??12(sz)??1(sz)?2?12(sz)?0
?sx?2?2?1(sz)2因此
4在
态下，
?xs,
?ys对称，因而
?sy?2?2
4
s?12,s?32情况下，对称和
3. 自旋为s的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？反对称自旋态各有几个？[20分]
解：自旋为s指的是自旋角量子数是s（它和轨道运动中的l相当），在轨道运动中，角量子数给定后（l）,角动量z分量的本征值m?有2l+1种不同值：
m???l?,?(l?1)?,........??,0,?.........(l?1)?,l?
推广到自旋的情形若自旋自旋角量子数（不一定是1/2，例如原子核的自旋）则自旋磁量子数有2s+1种值
ms??s?,.......s?
但s可以是整数，也可以是半整数。
自旋的不同态用作
ms来区别，第一电子的自旋波记作
xms(sz1)或
xms(1)，第二电子的自旋波函数记
?m?s(sz2)或
?m?s(2)
s?1,s）
ms,m?是（?s,?s?1,.........s
中任意两个。
描写两电子体系的波函数是个别电子波函数的相乘积或其线性式，根据§8.4的理论，要使体系的波?,S?S?Z的本征态，?只有三种形式的归一化波函数： 函数成为总自旋
2（1）
???ms(1)?ms(2) 计算2s+1种
??（2）
12[?ms(1)?m?s(2)??ms(2)?m?s(1)]
(2s?1)2s这种波函数种数等于2s+1文字中选择不同文字的种数计有
2种。
以上二类对称自旋波函数的总数目
n=
12??(3)
[?ms(1)?m?s(2)??ms(2)?m?s(1)]
(2s?1)2s这种波函数还是反对称的，波函数总数目和（2）相同，计有能的合成自旋波函数的总数目有：
2种。自旋角量子数s指定时，可
n?2s?1?(2s?1)s?(2s?1)?(2s?1)2
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