[步步高]2016高考数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式教师用书 理 苏教版

§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C(α＋β))； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S(α＋β))； tan α－tan β

tan(α－β)＝ (T(α－β))；

1＋tan αtan βtan α＋tan β

tan(α＋β)＝ (T(α＋β))．

1－tan αtan β2．二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α；

cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； 2tan α

tan 2α＝. 21－tanα

3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为

tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)， tan α＋tan βtan α－tan β

tan αtan β＝1－＝－1.

tan?α＋β?tan?α－β?【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“3”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( 3 )

tan α＋tan β

(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan

1－tan αtan βαtan β)，且对任意角α，β都成立．( 3 ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )

π

(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(，π)，则tan 2α＝3.( √ )

2

2

2

2

2

1

1．(20132浙江改编)已知α∈R，sin α＋2cos α＝3

答案 －

4

解析 ∵sin α＋2cos α＝

10， 2

10

，则tan 2α＝ . 2

522

∴sinα＋4sin αcos α＋4cosα＝.

2化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， sin 2α3

∴tan 2α＝＝－. cos 2α4

sin α＋cos α1

2．若＝，则tan 2α＝ .

sin α－cos α23答案 4

sin α＋cos α1tan α＋11

解析 由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan

sin α－cos α2tan α－12α＝－3，

2tan α3

则tan 2α＝＝. 2

1－tanα4

π?1?θ＋3．(20132课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan??＝，则sin θ＋cos θ4?2?＝ . 答案 －

10

5

π?11?解析 ∵tan?θ＋?＝，∴tan θ＝－， 4?23?

??3sin θ＝－cos θ，

即?22

?sinθ＋cosθ＝1，?

且θ为第二象限角，

解得sin θ＝

10310

，cos θ＝－. 1010

10

. 5

∴sin θ＋cos θ＝－4．(20142课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为 ． 答案 1

2

解析 ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x， ∴f(x)的最大值为1.

题型一 三角函数公式的基本应用

例1 (1)设tan α，tan β是方程x－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为 ． πππ1(2)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，

2243πβ3β

cos(－)＝，则cos(α＋)＝ .

423253答案 (1)－3 (2) 9

解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. tan α＋tan β3

∴tan(α＋β)＝＝＝－3.

1－tan αtan β1－2β

(2)cos(α＋) 2

ππβ

＝cos[(＋α)－(－)] 442

ππβππβ

＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)．

442442π

∵0<α<，

2ππ3π则<＋α<， 444π22∴sin(＋α)＝.

43π

又－<β<0，

2ππβπ则<－<， 4422

2

3

πβ6

则sin(－)＝.

423

β1322653

故cos(α＋)＝3＋3＝.

233339

思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．

(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝1

7

，则sin α＝ .

(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1

tan 5°－tan 5°)＝ .

答案 (1)35 (2)3

2

解析 (1)∵tan(α＋πtan α＋11

4)＝1－tan α＝7，

∴tan α＝－34＝sin α

cos α，

∴cos α＝－4

3sin α.

又∵sin2

α＋cos2

α＝1， ∴sin2

α＝925

.

又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝3

5

.

2

2

2

(2)原式＝2cos10°cos5°－4sin 10°cos 10°－sin 10°2sin5°

sin 5°cos 5°

＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10° ＝cos 10°－2sin 20°

2sin 10°

＝cos 10°－2sin?30°－10°?

2sin 10°

＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°

2sin 10° ＝

32

. 题型二 三角函数公式的灵活应用

例2 (1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)2cos(110°－x)的值为 ．

4

142

2cosx－2cosx＋

2

(2)化简：＝ .

ππ2

2tan?－x?sin?＋x?

44cos 15°＋sin 15°

(3)求值：＝ .

cos 15°－sin 15°答案 (1)

21

(2)cos 2x (3)3 22

解析 (1)原式＝sin(65°－x)2cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝

2. 2

142

?4cosx－4cosx＋1?2

(2)原式＝ π

23sin?－x?

4π2

2cos?－x?

π4cos?－x?

4?2cosx－1?cos2x＝＝

πππ

4sin?－x?cos?－x?2sin?－2x?

442cos2x1

＝＝cos 2x. 2cos 2x2

1＋tan 15°tan 45°＋tan 15°

(3)原式＝＝

1－tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝3.

思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)2(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．

αα

?1＋sin α＋cos α?2?cos－sin?22

2＋2cos α

2

2

2

2

(1)已知α∈(0，π)，化简：

＝ .

(2)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋3tantan的值

2222为 ．

答案 (1)cos α (2)3 解析 (1)原式＝

ACAC

5

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