2019年高中数学第二章2.1指数函数2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用优化练习新人教A版

2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )

解析：y＝(1＋11.3%)＝1.113. 答案：D

??2， x<0，2．设函数f(x)＝?

??gx， x>0.

xxx

若f(x)是奇函数，则g(2)的值是( )

1

A．－

41C. 4

B．－4 D．4

－2

解析：由题设知g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2＝ 11－2＝－. 24答案：A 3．函数y＝2

－x＋1

?1?x＋2的图象可以由函数y＝??的图象经过怎样的平移得到( )

?2?

A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 解析：y＝2

－x＋1

?1?x－1?1?x＋2＝??＋2，设f(x)＝??，

?2??2?

?1?x－1?1?x－x＋1

则f(x－1)＋2＝??＋2，要想得到y＝2＋2的图象，只需将y＝??图象先向右平移1

?2??2?

个单位，再向上平移2个单位．

1

答案：C

4．若定义运算a⊙b＝?A．(0,1] C．(0，＋∞)

x－x??a，a

则函数f(x)＝3⊙3的值域是( )

B.[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

－xx－x解析：解法一：当x>0时，3>3，f(x)＝3，

f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；

当x<0时，3<3，f(x)＝3，f(x)∈(0,1)． 综上，f(x)的值域是(0,1]．

解法二：作出f(x)＝3⊙3的图象，如图． 可知值域为(0,1]． 答案：A

5．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称， 且当x≥1时，f(x)＝3－1，则有( )

xx－xx－xx?1??3??2?A．f ??＜f ??＜f ??

?3??2??3??2??3??1?B．f ??＜f ??＜f ?? ?3??2??3??2??1??3?C．f ??＜f ??＜f ?? ?3??3??2??3??2??1?D．f ??＜f ??＜f ?? ?2??3??3?

?1??2??2??5??2??1??1?解析：依对称性有f ??＝f ?1－?＝f ?1＋?＝f ??，f??＝f?1－?＝f?1＋?＝

?3??3??3??3??3??3??3?

f ??，又f(x)在x≥1时为增函数，＜＜，∴f ??＜f ??＜f ??，即f ??＜f ??＜

332332f ??.

答案：B

?4????1??3?

433523

?4????3????5????2????3???

?1?|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．

6．已知函数f(x)＝???2?

1x解析：解法一：由指数函数的性质可知f(x)＝()在定义域上为减函数，故要求f(x)的单

2调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．

2

??1?x－1，x≥1，??1??|x－1|＝???2?解法二：f(x)＝???2???2x－1，x<1.

可画出f(x)的图象求其单调递增区间．

答案：(－∞，1]

7．函数f(x)＝a－3a＋2(a>0，且a≠1)的最小值为________． 解析：设a＝t(t>0)，则有f(t)＝t－3t＋2＝ 32131

(t－)－，∴t＝时，f(t)取得最小值－ .

24241答案：－ 4

8．若直线y＝2a与函数y＝|a－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．

解析：当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜2a＜1

2，即＜a＜1，与a＞1矛盾．当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)

211

所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，即为所求．故填＜a＜1.

22

xx2

2xx

1

答案：＜a＜1

2

?1?x2－3x－2的单调区间和值域．

9．求函数y＝??

?2??1?x2－3x－2的定义域为R.

解析：函数y＝???2?

3?3??3?2

令t＝x－3x－2，对称轴为x＝，在?－∞，?上是减函数，在?，＋∞?上是增函数，而y2?2??2?3??1?t?1?2?＝??在R上为减函数．所以由复合函数的单调性可知，y＝??x－3x－2在?－∞，?上为

2??2??2??

3

?3?增函数，在?，＋∞?上为减函数． ?2?

3172

又∵t＝x－3x－2在x＝时，tmin＝－，

241t1717

∴y＝()在t＝－时，取得最大值ymax＝2.

244∴所求函数的值域为(0,2

174)

x2

10．已知函数f(x)＝－x(a为常数)．

22＋1(1)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值．

解析：(1)在(－∞，＋∞)上任取两个值x1，x2且x1＜x2， 2x1??a2x2??af(x1)－f(x2)＝?－－?－??

?22x1＋1??22x2＋1?2x22x1

＝－＝2x2＋12x1＋1

2x2－2x1x1＋x2＋

，

a∵2＞1且x1＜x2，∴2x2－2x1＞0. 又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数． (2)∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义， 2

∴f(0)＝0，即－0＝0.

22＋1∴a＝1.

[B组 能力提升]

1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a－a＋2(a>0，且

x－xa0

a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )

A．2 17C. 4

解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴由f(x)＋g(x)＝a－a＋2，① 得－f(x)＋g(x)＝a－a＋2，②

4

－xB.

15 4

2

D．a

x－xx①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x. 又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x， ∴f(2)＝22－2－2

＝154.

答案：B

2．若函数f(x)＝???fx＋

，x＜2，?2－xf(－3)的值为( ) ?

， x≥2，

则A.18 B.1

2 C．2

D．8

解析：f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2) ＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3

＝18.

答案：A

3．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C．(0，＋∞)

D． (－1，＋∞)

解析：∵2x(x－a)<1，∴x－a<12x＝??1?2??x?

∴a>x－??1?2??x?

，∵y＝x在(0，＋∞)是增函数，

y＝??1?x在(0，＋∞)是减函数，∴y1?2??＝x－???2

??x?

在(0，＋∞)是增函数，

要使a>x－??1?x?2??在(0，＋∞)有解，

需使a>0－??1?2??0

?

＝－1.

答案：D

4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－1

2的解集是______．

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0.

当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1. 由2x－1＜－12

，2x＜2－1

，得x＜－1.

5

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