六章 平稳时间序列

第六章 平稳时间序列模型

时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。Engle和Grange因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统应用较广的是Box和Jenkins（1970）提出的ARIMA（自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas和Lebanon发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。

第一节 基本概念

一、随机过程

在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。

还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能

只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。例如，某一天电话的呼叫次数?，它是一个随机变量。若考察它随时间t变动的情况，则需要考察依赖于时间t的随机变量?t，｛?t｝就是一个随机过程。又例如，某国某年的GNP总量，是一个随机变量，但若考

查它随时间变化的情形，则｛GNPt｝就是一个随机过程。

一般地，若对于每一特定的t（t?T），yt为一随机变量，则称这一族随机变量｛yt｝为一个随机过程。随机过程的分类一般有两种方法：（1）以参数集T和yt的取值的特征来分类；（2）以统计特征或概率特征来分类。为了简便，我们以参数集和yt的取值的特征来分类。以参数集T的性质，随机过程可分为两大类：以yt所取的值的特征，随机过程也可以分为两大类：T为可数集合与不可数集合。

离散状态，即Yt所取的值是离散的点；连续状态，即yt所取的值是连续的。由此可将随机过程分为以下四类：离散参数离散型随机过程；连续参数离散型随机过程；连续参数连续型随机过程；离散参数连续型随机过程。

二、时间序列

离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列，简称为时间序列。经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的一个实现。时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学的一个分支。

时间序列的特点是：序列中的数据依赖于时间顺序；序列中每个数据的取值具有一定的随机性；序列中前后的数值有一定的相关性--系统的动态规律；序列整体上呈现某种趋势性或周期性。时间序列的统计特征通常用其分布及数字特征来刻画。例如期望E(yt)，方差Var(yt)和协方差Cov(yt,ys)。

研究时间序列具有重要的现实意义，通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。

三、时间序列的平稳性与滞后算子

所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。以平稳时间序列数据作为计量经济模型变量的观测值时，其估计方法、检验

过程才可能采用前面几章所介绍的方法。

直观上，一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一是弱平稳。严格平稳是指随机过程｛yt｝的联合分布函数与时间的位移无关。设｛yt｝为一随机过程，n为任意正整数, h为任意实数，若联合分布函数满足：

Fyt,yt12,,ytn?x1,,xn??Fyt?h,1,ytn?h?x1,,xn? (6.1)

则称｛yt｝为严格平稳过程，它的分布结构不随时间推移而变化。

弱平稳是指随机过程{yt}的期望、方差和协方差不随时间推移而变化。若｛yt｝满足以下三条件：

E(yt)??，Var(yt)??2，Cov(yt,ys)?f(t?s) (6.2)

则称｛yt｝为弱平稳随机过程。在以后的讨论中，关于平稳性的概念通常是指弱平稳，弱平稳通常也被称作宽平稳。

需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系：只有具有有限二阶矩的严平稳过程，才是弱平稳过程；弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，即它并没有规定分布函数的性质，所以弱平稳并不一定属于严平稳。

由于时间序列分析中经常用到白噪声过程，所以有必要对它介绍一下。 对于一个随机过程{yt,t?T}，如果E(yt)?0；Var(yt)??2??；

Cov(yt,ys)?0，t?s，则称{yt,t?T}为白噪声过程。

白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。如果{yt} 同时还服从正态分布，则它就是一个严平稳的随机过程。白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。下图是由噪声过程产生的时间序列。

3224DJPY10-1-20-2-320406080white noise100120140160180200-4

20406080100120140160180200

图1 由白噪声过程产生的时间序列 图2 日元对美元汇率的收益率序列

在时间序列分析中，我们经常要用到滞后算子L，它的定义为

Lyt?yt?1

这个滞后算子L是把一个时间序列转换成另一新的时间序列的映射。如果应用两次滞后算子，我们有

L(Lyt)?Lyt?1?yt?2

记两个滞后算子的乘积为L2，有L2yt?yt?2。规定L0yt?yt，即它是一个恒等映射。滞后算子L的逆算子L?1满足L?1yt?yt?1。一般地，对于任意的整数，我们有

Lkyt?yt?k

滞后算子L对于数量乘法和加法满足交换律和分配律，即对于任意的常数?和时

????间序列{yt}t?????，{xt}t???，{wt}t???，我们有

L(?yt)??Lyt L(xt?wt)?Lxt?Lwt

这样如果yt?(a?bL)Lxt，那么有

yt?(aL?bL2)xt?axt?1?bxt?2

另一个例子是

(1??1L)(1??2L)xt?(1??1L??2L??1?2L2)x2?xt?(?1??2)xt?1??1?2xt?2像(aL?bL2)这样的表达式我们称之为滞后算子多项式。

第二节 移动平均（MA）过程

在金融收益率序列的建模中有一类简单模型是滑动平均模型(Moving-Average Model, 缩写为MA模型)，它可以看作是白噪声序列的简单推广。

一．一阶移动平均过程MA?1?

如果?ut?满足白噪声过程，定义过程

yt???ut??ut?1 (6.3)

其中?和?为常数，这个序列称为一阶移动平均过程MA?1?。

期望为 E?y (6.4) ?tu????E?t1u???t????E方差为 E?yt????E?ut??ut?1???1??2??2 (6.5)

22一阶自协方差为 cov,???yty?ut1??Et??t1u???t1u???t22 (6.6) u????高阶自协方差为 cov?yt,yt?j??E?ut??ut?1??ut?j??ut?j?1??0 （j?1） (6.7) 上述均值和协方差都不是时间的函数，因此不管?为何，MA?1?过程都是协方差平稳的。

??2?而一阶自相关系数 ?1? （6.8） ?2221???1????高阶自相关系数均为0。此时自相关函数在1阶处截尾。 [例1] yt?ut?0.8u?t1，此时?1??0.8??0.5 21??1.64 xt?ut??1/0.81????0.5 , 此时u1?t1221??1?(1/0.8)0.8这时MA(1)序列{xt}与{yt}具有相同的相关系数，那么选择哪一个模型更为合适呢？

对于MA(1)过程，还有几点值得注意：(1) 正的?值得到正的自相关系数，一个大的yt后面通常是一个比平均值大的yt；(2) 负的正的?值得到负的自相关系数，一个大的yt后面通常是一个比平均值小的yt；(3) 自相关系数的取值区间

?1???1,1?，并且对于每一个?1???0.5,0.5?，都有?和1/?与之对应；(4)某些金

融时间序列可能是零均值，这时就应当是把这个常数均值?从模型中移除，使得MA(1)模型变为yt?ut??ut?1。

二．q阶移动平均过程MA?q?：

q阶滑动平均过程的表达式为：

yt???ut??1ut?1??u2t??2...??qut?q (6.9)

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