六章 平稳时间序列 (2)

其中?ut?为白噪声过程，??1,?2,...,?q?为任何实数。其均值、方差、自协方差和自相关函数分别为：

E?yt??? (6.10)

?0?Var?yt??E?ut??1ut?1??2ut?2?...??qut?q? ??1?????...????21222q22 （6.11）

?j?cov?yty,t?j??E?ut??1ut?1?.?.?.qut?q??ut?j??u?.?.qu.t?j?q? （6.12） 1t?j??1?.?q?q?j??2???j??j?1?1??j??2?2..? ??0??j ?1,2q,..., j?q即自协方差函数在q阶处截尾。

由(12)式立即可得q阶移动平均过程的自相关函数为

??k??k?1?1??k?2?2????q?q?k k?1,2,?,q?1??12??22????q2?k?? (6.13) ?0 k?q?(13)式告诉我们，当移动平均过程的阶为q时，间隔期大于q的自相关函数值为零。这个性质称为MA(q)的自相关函数的截尾性，意思是说，自相关函数的图形随着自变量k到达(q?1)时突然被截去。MA(q)的截尾性给我们一个重要启示：如果某时间序列是来自一个移动平均过程，则当该时间序列的样本自相关函数，

??1)开始，其值均为零时，我们就可以推测，原时间序列的阶数从某个间隔期(q?。 为q[例2] MA?2?过程 yt?ut??1u?t1??2?t2u

容易算得 ?0??1??12??22??2 ，?1???1??1?2??2，?2??2?2，?j?0， j?2；

?1??1??2?1?2??，，?j?0， j?2。 222221??1??21??1??2

[例3] 下式为一个一阶移动平均过程

yt?1.6?ut?0.3ut?1

其中ut是?2?2高斯白噪声过程，表1是它容量为100的一个样本。

表1 一阶自回归过程yt?1.6?ut?0.3ut?1的一个实现

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Yt

t 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Yt

t 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 Yt

t 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Yt

0.8855 4.2934 -0.1071 0.0796 2.8523 2.4801 2.3003 1.0175 3.2323 2.4999 2.3007 3.1032 3.1367 2.4248 2.5574 2.5946 1.1813 0.2305 2.3115 -0.0818 -3.1688 0.5128 2.4507 0.8341 1.2595 2.233 1.2258 1.0914 3.8662 3.6584 -1.2055 -0.5732 1.2197 1.4091 -0.844 -1.0316 1.1887 1.7468 0.5279 0.1392 0.992 2.8198 -0.603 -0.4252 0.1535 -1.1038 1.0635 2.0526 1.7068 -0.8452 -0.1954 0.2623 2.6973 1.5055 1.8346 2.371 1.4937 1.2863 2.0144 1.7401 -0.2993 1.3933 0.366 2.5341 3.2576 1.0231 2.6489 2.1 2.183 1.6981 2.3432 3.7589 3.9677 3.0588 1.6304 1.3707 3.2748 4.642 4.514 6.3372 3.0025 1.9877 1.8743 2.1319 0.4165 -1.1645 1.3004 1.0471 1.3628 0.7714 3.2516 3.1616 1.6074 2.5893 2.3218 0.8638 2.582 2.4109 0.8723 3.4713 (1)画出yt的线图；(2)求yt的总体自相关函数；

(3)根据表中样本求样本自相关函数。

在EViews中输入命令 Plot y,可得该样本的线图如下

86420-2-41020304050Y60708090100 图3 过程yt?1.6?ut?0.3ut?1的线图

根据公式(13)式，容易求得yt的总体自相关函数为

0.3??1??0.2752, k?1? ?k??1??121?0.32?0, k?1?在EViews中双击序列yt ，然后点击View\\Correlograms,选择水平序列可得Autocorrelation and Partial correlations函数图如下，

图4 过程yt?1.6?ut?0.3ut?1的自相关与偏相关柱状图

从上图的样本自相关函数值可以看出：滞后2期的自相关函数值

?2?0.112与??1?0.404相比，大幅度减少，k?2的样本自相关函数值越来?越小。

三．无限阶移动平均过程MA???

对于一个MA(q)过程，如果让q??，我们就得到如下的过程：

yt?????j?t?j???ut??1ut?1??2ut?2?j?0? (6.14)

我们称此过程为MA(?)过程，这里?0?1。我们可以证明：如果MA(?)过程的系数是平方可和的，即

??j?0?2j??

那么MA(?)是一个平稳的过程。一般地我们用一个更强的绝对可和条件

??j?0?j??来代替平方可和条件，绝对可和蕴涵平方可和。系数是绝对可和的

MA(?)过程的均值和自协方差分别为

E[yt]?limE(??ut??1ut?1??2ut?2?T??T????Tut?T)?? (6.15)

??Tut?T)2 (6.16)

?0?E(yt??)2?limE(ut??1ut?1??2ut?2??lim(1?????T??2122??)?2T2?j?E(yt??)(yt?j??)??(?j?0??j?1?1??j?2?2?2) (6.17)

四、移动平均过程的识别

由(13)式可知，MA过程的阶等于自相关函数值不为零的最大滞后阶数k。我们怎么能够由可得之时间序列来判断MA过程的自相关函数在某处(即某间隔长度)的值为零呢？从例3可知，即使是MA过程的自相关函数在某处的真值为零，但由MA过程所产生的一个实现来计算的样本自相关函数在同一处的值却不等于零。这表明，我们不能因为样本自相关函数在某处的值不为零来断定总体自相关函数在同一处的值也不为零。幸而，我们可以知道样本自相关函数值的分布。这样，我们就可以根据样本自相关函数值的分布来进行总体相应的自相关函数值是否为零的显著性检验。

根据George G. Judge (1982)等所述1，在样本充分大的条件下，自相关函数?k的置信度为95%的置区间近似为

?k?(?n?kt?12n?k?,?2n) (6.18)

?k?其中，??(yt?y)(yt?k?y)?(yt?1n为样本自相关函数，n为样本容量。于是我们有：

t?y)2如果自相关函数值?k?0，则在大样本条件下，相应的样本自相关函数值以95%

?22?的概率落入区间?,????。由此可得显著性检验程序如下：

nn???k。 第一步：根据所得随机时间序列的一个样本计算样本自相关函数值??22??k是否落入区间??k的绝对值是否小于第二步：检验?,????，或者检验?nn??2n：

2?22??k落入区间?如果?或其绝对值小于，则在5%的显著性水平?,???nnn??2?22??k在区间?下，不拒绝?k?0；如果?之外或其绝对值大于，则拒?,???nnn??绝?k?0。

[例4] 设时间序列yt是来自MA过程，表2的数据是它的一个样本容量为48的一个实现，试确定这个MA过程的阶。

表2 移动平均过程yt的一个实现

时期 t 1

2 3

1

yt

时期 t 17 18 19

yt

时期 t 33 34 35

yt

1.542178 2.477647 4.423028 2.255198 2.892425 2.715419 4.22556 5.46023 4.066832

George G. Judge, R. Carter Hill, William E. Griffiths, Helmut Lütkepohl, and Tsoung-Chao Lee “Introduction to the Theory and Practice of Econometrics”, p.692, Copyright 1982, 1988 by John Wiley & Sons, Inc.

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新初中教育六章 平稳时间序列 (2)全文阅读和word下载服务。