六章 平稳时间序列 (4)

如果假定过程是协方差平稳的，可直接利用差分方程yt?c??yt?1?ut计算各阶矩。对（6.37）式两边取期望：

E?yt??c??E?yt?1?

从而，

E?yt????c （6.44） 1??对（6.37）式变形，得到：

yt???1?????yt?1?ut 或?Yt??????Yt?1????ut （6.45）

两边平方求期望：

2E?yt?????2E?yt?1????2?E???yt?1???ut???E?ut?

22将?yt?1????ut?1??ut?2??2ut?3?....代入（25），可得

?0??2?0??2

从而得到协方差平稳AR?1?过程的方差：

?2?0? （6.46）

1??2根据同样的道理，（6.37）两侧同时乘以?yt?j???，再求期望，可得自协方差函数：

?????E???yt????yt?j??????E??yt?1????yt?j?????E??t?yt?j????

即

?j???j?1 （6.47）

解自协方差函数的差分方程，得到

?j??j?0 （6.48）

自相关函数为：

?j??j??j （6.49） ?0二．二阶自回归过程AR?2?

表达式为

yt?c??1yt?1??2yt?2?ut （6.50）

或者写成滞后算子形式：

?1??L??L?y212t?c?ut （6.51）

差分方程（6.51）的平稳条件是特征方程?1??1z??2z2??0的根都落在单位圆外。此时自回归算子的逆为：

??L???1??1L??2L2???0??1L??2L2?.... （6.52）

?1这里的?j由矩阵Fj的第?1,1?个元素给出。

将（6.51）两边同时乘以??L?得到：

yt???L?c???L?ut

显然

E?yt??????L?c?c1??1??2 （6.53）

也可直接对（6.50）两边取期望，从而有

E?yt????c??1E?yt?1???2E?yt?2??c??1???2? （6.54）

再次得到

E?yt????c1??1??2 （6.55）

系统（6.50）变形为

yt???1??1??2???1yt?1??2yt?2?ut

进一步变形

yt????????1?y?t1??2y?t?2两边同时乘以?yt?j???，求期望，得到

??? t （6.56） u

?j??1?j?1??2?j?2 j?1,2,. . . （6.57）

两边同时除以?0，得到

?j??1?j?1??2?j?2 j?1,2,. . . （6.58）

可见，对于AR?2?过程，其自协方差和自相关函数仍然是差分方程。当j?1时，

?1??1/?1??2?；当j?2时，?2??1?1??2；由此通过逐次求解迭代就可以求得

自相关函数。自相关函数仍然具有拖尾特征。

下面我们求二阶自回归过程的方差。（6.56）两侧同时乘以?yt???，再求期望得到：

E?yt?????1E?Yt?1????yt?????2E?yt?2????yt????E??ut?yt????? 即

2?0??1?1??2?2??2??0??1?1?0??2?2?0??2

整理一下，得到

1??2??2? （6.59） ?0?221??2???1??1??2?????三．p阶自回归过程AR?p?

表达式为：

yt?c??1yt?1??2yt?2?....??pyt?p?ut （6.60）

其平稳性条件为特征方程1??1z??2z2?...??pzp?0的根都在单位圆外。假设过程协方差平稳，则对（6.60）两边求期望，得到：

??c??1???2??...??p?

从而可以得到均值：

??c/?1??1??2?...??p? （6.61）

表达式（6.60）可以写成：

yt????1?yt?1?????2?yt?2????....??p?yt?p????ut （6.62） 表达式两侧同时乘以?yt?j???，再取期望可得自协方差：

??1?j?1??2?j?2?...??p?j?p j?1,2,...?j?? （6.63） 2??????...???+? j?0pp?1122已知??j??j，因此得到结论：当j?0,1,2,...,p时，?0,?1,...,?p是?2,?1,?2,...,?p的函数。

（6.63）两侧同时除以?0，得到尤拉--沃克（Yule-Walker）方程：

?j??1?j?1??2?j?2?...??p?j?p j?1,2,. . . （6.64）

因此表达式（6.63）和（6.64）表明，p阶自回归过程的自协方差函数和自相关

函数具有相同形式的p阶差分方程，其自相关函数的具有拖尾特征。也就是说随着k的增大，?k的绝对值逐渐下降，但是不会到某一点以后被突然截断，而是一直拖下去，我们称自回归模型的自相关函数的这种特性为自回归模型的自相关函数的拖尾性。

显然自相关函数的拖尾性是AR模型的特征而自相关函数的截尾性则是MA模型的特征。但是用自相关函数的拖尾性并不足以说明时间序列是来自自回归过程。自相关函数的拖尾性和偏自相关函数的截尾性往往就能说明时间序列是来自自回归过程。下面引入偏自相关函数的概念。

在(6.64)式中令k?1,2,?,p，得到如下的Yule-Walker方程组

?1??1??2?1??2??1?1??2?0???p?p?1?p?p?2??p (6.65)

?p??1?p?1??2?p?2?其中运用了?0?1和??k??k。

当?1,?2,?,?p为已知时，可从Yule-Walker方程组中解出诸?i。但用方程(6.65)求解诸?i需要先知道自回归过程的阶数p，但是我们并不知道。因此，我们可以分别p?1,2,?求解。

????1。当p?1时，求解方程组(6.65)，并利用样本自相关函数，得?1的估计值?1?为?11。 如果?1显著地不为零，则自回归过程的阶数至少为1。记?1当p?2时，求解方程组(6.65)，并利用样本自相关函数，得?1和?2的估计值，

?。如果?2显著地不为零，则自回归过程的阶数至少为2。记??设?2的估计值为?22为?22。

?，对p连续取值3，4，…，重复上述过程，如对p?3，得到?3的估计值?3记为?33，等等。我们称序列?11，?22，?33，…，为偏相关函数。

四、自回归过程的识别

从上述偏相关函数的概念中可知，我们可以从偏相关函数的特性来推测自回

归过程的阶数：按上述求偏相关函数值的方法求得偏相关函数的值并作显著性检验，如果在p的某一个取值m，?m显著地不为零，而此后的?k(k?m)不显著，则自回归过程的阶数为m。所以当自回归过程的阶数确实为p时，则?j(j?p)为零而?j(j?p)近似为零。为了进行显著性检验需要知道偏相关函数的分布特征。好在我们有如是结果：?jj近似地服从均值0，方差为

1的正态分布(n为样本容n2n量)。因此，可以在显著性水平5%下，通过考察?jj的绝对值是否大于是否显著地不为0。

检验?j[例5] 由方程yt?2?0.7yt?1?0.2yt?2?ut(ut为高斯白噪声)产生一个样本容量为100的时间序列。根据所产生的时间序列样本求样本自相关函数和偏自相关函数并由此确定其阶数，看一看结果是否与生成机制相吻合。

显然随机过程yt?2?0.7yt?1?0.2yt?2?ut是平稳的AR(2)过程。因为它的特征多项式的根均在单位园之外。

据此可计算出它的均值为E(yt)?2以均值作为初始值去生成?20，

1?0.7?0.2时间序列即令(y?1,y0)?(20,20)根据生成机制yt?2?0.7yt?1?0.2yt?2?ut，由随机数发生器生成容量为100的时间序列如表3。

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