六章 平稳时间序列 (3)

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

4.964234 5.452143 1.856292 1.455666 3.954514 2.570313 1.657775 0.895445 0.13883 0.914224 1.639915 0.417965 1.161316 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 2.453714 2.433565 4.120497 3.7203 2.762672 2.375098 4.664288 5.049 5.895059 3.770486 4.268512 2.384476 2.57151 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 2.425495 3.360861 3.023759 3.528817 2.01038 1.286251 0.970086 1.72418 2.749795 3.00863 2.694154 5.000872 2.574218

?k的一系列值： [解] 由表2，根据样本自相关系数，计算可得?k ?k ?1 2 3 4 5 6 7 0.576 0.251 0.134 0.193 0.219 0.092 -0.124 而

2n?248?0.2887，显然有

??0.2887,k?1? ?k??0.2887,k?1?故在5%的显著性水平下，拒绝?1?0，接受?k?0，当k?1。这表明表2的数据产生于一个MA(1)过程。

五、移动平均过程的参数估计

移动平均过程的参数据估计就是在已确定移动平均过程的阶以后，根据它的一个现实或样本(Y1,Y2,?,Yn)?，来估计移动平均过程的均值??E(Yt)，诸移动平均系数(或称权数)?，以及被假定为白噪声过程或高斯白噪声过程的ut的方差

?u2。由于不可逆的移动平均过程意义不大，所以我们只研究的可逆的移动平均过程，因为有限阶移动平均过程是平稳的，所以其均值为常数，而这个常数完全可以由样本平均数来估计。因此，均值的估计也就不成为问题。正因为如此，不失一般性，我们假定MA(q)的均值??E(Yt)?0，以便于对其它参数的估计(若

不然，只要将移动平均过程的每一项减去其均值，而均值的估计值是可得的)。

故可设

Yt?ut??1ut?1??2ut?2????qut?q (6.19)

其中?ut?是一白噪声过程。

估计(6.19)式中的参数的一个直接方法是将它化成AR(?)的形式(因为它是可逆的，所以这种转换是可行的)：

(1??1L??2L2??3L3??)Yt?ut

即

Yt???1Yt?1??2Yt?2??3Yt?3???ut (6.20)

求使上式所表示的计量经济学模型的残差平方和最小的诸?，即求诸?，使

S(?1,?2,?3,?)??(Yt??1Yt?1??2Yt?2??3Yt?3??)2 (6.21)

t?1?最小。

但由于样本容量是有限值n，所以上式可简化为

S(?1,?2,?3,?,?n)??(Yt??1Yt?1??2Yt?2??3Yt?3????t?1Y1)2 (6.22)

t?1n即，我们的估计问题首先就是要求求诸?，使S(?1,?2,?3,?,?n)最小(?0?1)。当我们估计出诸?以后，再根据诸?与诸?的关系，求出诸?的估计值，而ut的方差?u2则可由下式估计：

?u2???1,??2,??3,?,??n)S(? (6.23)

n?q或

2?u???1,??2,??3,?,??n)S(? (6.24)

n上述过程所用的方法是最小二乘法，但是由于诸?与诸?的关系十分复杂，所以上述估计属于非线性估计，往往要在一组初始值下进行迭代。有计量经济学软件EViews中有相应的程序对MA(q)过程进行参数估计。

例如：如要估计MA(2)过程，则估计命令为

Ls y c MA(1) MA(2)

下图是某MA(2)序列的EViews估计的输出结果

图5 MA(2)过程的EViews估计结果

若假设(6.19)式中?ut?是一高斯白噪声过程，则可用最大似然估计来估计模型中的参数。

例如对于高斯MA?1?过程

Yt???ut??ut?1 （6.25）

其中utiid N?0,?2?。θ???,?,?2?表示要估计的总体参数。如果ut?1已知，则

Ytut?1N?????ut?1?,?2? （6.26）

其概率密度函数为：

???yt????ut?1?2?fYtut?1?ytut?1;???exp?? （6.27） 222?2??????1如果已知u0?0，则

Y1u0N??,?2? （6.28）

给定观察值y1，则u1就是确定的

u1?y1?? （6.29）

代入（6.27），得到

???y2????u1?2?fY2Y1,u0?0?y2y1,u0?0;???exp?? （6.30） 222?2??????1因为u1确知，u2可由下式求出：

u2?y2????u1 （6.31）

通过迭代法由?y1,y2,...,yT?求出?u1,u2,...,uT?整个序列：

ut?yt????ut?1 （6.33）

t?1,2,...,T，从?0?0开始。则第t个观测值的条件密度为：

fYtYt?1,Yt?2,...,Y1,u0?0?ytyt?1,yt?2,...,y1,u0?0;????ut2??fYtut?1?ytut?1;???exp?2?22???2??1则样本似然函数为

fYT,YT?1,...,Y1u0?0?yT,yT?1,yT?2,...,y1u0?0;???fY1u0?0?y1u0?0;???fYtYt?1,Yt?2,...,Y1,u0?0?ytyt?1,yt?2,...,y1,u0?0;??t?2T （6.34）

（6.35）

条件对数似然函数为

L????ln?fYT,YT?1,...,Y1u0?0?yT,yT?1,...,y1u0?0;????? （6.36） Tut2TT2 ??ln?2???ln?????222t?12?其中，利用（6.33）和观察值序列可以求出隐含的白噪声序列。但是条件似然函数仍然是非线性函数。需要使用数值解法求参数。

第三节 自回归（AR）过程

另一类常用的模型是自回归模型(Auto Regressive Model，缩写为AR模型)。自回归模型之所以有吸引力是因为它与很传统的线性回归模型非常相像。美国芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP）价值指数的月收益率rt具有统计显著的间隔为1的自相关系数，这表明延迟的收益rt?1在预测rt时会有一定的作用，描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型。 一．一阶自回归过程AR?1?

表达式为方程：

yt?c??yt?1?ut （6.37）

ut为白噪声序列。

如果??1，过程（6.37）中ut对yt的影响随着时间累增而不是消失，过程不是有限方差的协方差平稳过程。这个过程一般称为爆炸性过程。当??1时，过程为协方差平稳过程，此时利用滞后算子过程变为：

?1??L?yt?c?ut （6.38）

利用求逆，从而得到此过程的解为MA???过程：

utc?1??L1??Lc ???1??L??2L2?......?ut （6.39）

1??c ??ut??ut?1??2ut?2?.....1??yt?明显，当??1时，满足绝对可加性：

??j????j?0j?0??j1?? （6.40） 1??此时过程的均值、方差、自协方差函数和自相关函数分别为：

E?yt????c (6.41) 1??22?0?E?yt????E?ut??ut?1??2ut?2??3ut?3?.....??2 ??1???????.....???1??22462

?j?E?yt????yt?j??? ?E?ut??ut?1??2ut?2?....??ut?j??ut?j?1??2ut?j?2?....? （6.42） ?????jj?2??j?4?j2?...?? ??1??22?j?j???j (6.43)

?0 从自相关函数可以发现：当??1时，自相关函数按几何方式衰减。ut增加一个单位对于yt?j的影响等于yt和yt?j之间的相关系数。正的?值意味着yt和

yt?j之间正相关。负的?值意味着yt和yt?j之间负相关。此时自相关函数拖尾。

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