微积分A(3)复习举例4

微分方程(一阶)

基本类型：

dydy?f(x)dx?C.) ?f(x)g(y).(可分离变量的微分方程) (

g(y)dx??dydu?y??g??.(齐次方程) (??lnx?C.) dxg(u)?u?x??ax?b1y?c1?dy?f?1? dxax?by?c?222???P(x)dx?P(x)dxdy?.?Q(x)edx?C?P(x)y?Q(x)(线性微分方程)( y?e??)

??dx???P(x)dxdy?P(x)y?0,) (, y?Cedxdy?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1)(伯努利方程) dx

dyyy?tan?的通解。 例1. 求微分方程dxxx解：令u?dyduy?u?x，则， dxdxxducosududxx?tanu? 代入方程得，即dxsinuxy 积分得lnsinu?lnx?C?，化简并回代u?x

y得通解sin?Cx

x

例2. 求微分方程初值问题xy??y(lny?lnx),y(1)?1的解

dyyyy?ln解 方程可表示为，作变换u?， dxxxx代入方程得u?xdu?ulnu， dxdudx?分离变量u(lnu?1)x，两边积分并去除对数得

lnu?1?cx从而所求的解为

y?1?cx， ，即lnx 代入初始条件y(1)?1，解出c??1，

y?xe1?x 。

dy?1的通解 例3.求微分方程?2x?e?dx2y2dy???e2yc?ydx2y??2dy?2y?x?ec?eedy?? ?2x?e??解

??dy?

2x??2xyy?y?x?1e???例4.求微分方程?的特解。（巧）

??y?1??2edu1x?1x?u?e 解：设 u?y ?

dxxx2u?e??1dxx1??x?1?x?xdx??c????e?edx?

?x???11xx???c?x?1e?c?xe???? ?xx??1xy?c?xe?? ? ?

x2xy2?c?xex

2xxy?xe?3e c?3ey1?2e ?? ? ?特解

22??xy??xy?y例5. 求微分方程?的特解。

y1?1????x2x解：2y???1

yy1?11设z? ? z??z?2

xxyz?e?

?1dxx1??1???xdx?1?c????2?edx???cx

?x???2x2x ? y?

1?2cx2

1c?y?1??1 ?

2

? y?2x 1?x2例6. 应用微分方程求出同时满足如下两条件的曲线: (1)曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点平分;(2)曲线经过点(2,1). 解：设(x,y)是曲线上任意点，曲线在该点的切线方程为

dy?Y?y??(X?x)，

dxdy??0,y?x??， 令 X?0，得到切线与x轴的交点

dx??dydy?y?0， 由条件（1）得 y?x?2y， 即 xdxdx所以 xy?c，

又由条件（2）得 c?2，故所求曲线方程为 xy?2

例7. 求第一象限内过点(0,0)和(1,2)且满足如下条件的曲线：对于曲

线上每一点M(x0,y0)，由直线x?x0，y?y0和两坐标轴所围成的矩形图形被该曲线分割为上下两部分，这两部分面积的比恒为1:2。 解：设所求曲线方程为y?y(x)，由条件

xy(x)??y(t)dt0x?x?0y(t)dt1， 23x解得 ?0y(t)dt?xy(x)

23两端对x求导得到y?y(x)的微分方程y?xy??y，

2即y??1y，2xy?Cx，

结合曲线过(1,2)得C?2，从而得到所求曲线为y?2x

例8. 设卫生球的半径原为1cm，一个月后变为0.5cm，且卫生球的挥发率（即体积的变化率）正比于表面积。试确定卫生球的半径随时间

t的变化规律r(t)，并回答经过几个月后卫生球会完全挥发掉。

解： 体积和表面积分别为V??r3,S?4?r2， 由假设存在常数k，

dVdrdrt，c ?kS，即4?r2?k4?r2，也即?k，故r?k?dtdtdt111由条件1?k?0?c,?k?1?c?c?1,k??， 所以r??t?1；

2221 由0??t?1?t?2，即经过2个月卫生球会完全挥发掉。

243使

例9. 一桶盛有100m3的水。现将浓度为2kgm3的盐溶液以3m3min的速度注入桶内，同时被搅拌均匀的混合物以相同的速度流出，求 1. 任一时刻桶内盐的含量为多少？ 2. 何时桶内存盐100kg？

解：1. 桶内盐的变化率=盐的输入速度-盐的输出速度。若设时刻t桶

内盐的含量为x(t)， 则

dx(t)3?6?x(t)，注意x(0)?0便有 dt100 x(t)?e 2. 由x(t)?100?t?100kg。

?3t100t3s3t???????0??6e100ds??200?1?e100?

????0100ln2?231.，即经过约23.1min，桶内存盐3例10. 某湖泊的水量为V, 每年排入湖内含污染物A的污水量为流入湖内的清水量为

52V, 6VV, 流出湖泊的水量为。 目前已知湖中污染63物A的含量为Q0, 并规定以后排入湖中含A污水的浓度不得超过

Q0。 试确定污染物A可能的最大含量Q(t)与t的函数关系, 并问最多V需经过多少年, Q(t)能降至Q0以内? (假设湖水中含A是均匀的) 解： dt时段内，流入湖内的污染物A的量为流出湖内的污染物A的量为

QQVdt0?0dt； 6V6VQ(t)Qdt?dt 3V3QQ故污染物A的增量dQ?0dt?dt，从而Q满足初值问题

63?dQQ0?1???Q?1????tQ0?dt3?2?，解方程得Q(t)??Ce3，初始条件代入得C?2Q0， ?2?Q(0)?5Q0??21?t??1即Q(t)?Q0??2e3?

?2?令Q(t)?Q0， 得t?3ln2，即经过3ln2年后污染物A的含量Q(t)降至Q0以内。

例11. 有甲乙两人，乙对甲采取盯梢，即乙的行进方向指向甲的位置并保持与甲的距离不变。若甲和乙的初始位置坐标分别为(0,0)和

(1,0)，且甲沿y轴正向行进，试求出乙行进的轨迹方程。

解：设同一时刻甲和乙的位置坐标分别为(0,y)和(x,y)， 由乙的行进方向与乙甲位置的连线一致可得

dyy?y? dx0?x又由于甲乙的初始距离为1，且距离始终保持不变，故有

y?y?1?x2，

?

dy1?x2??dxx，

从而y???成计算）

1?x21?1?x2（可通过代换x?sint完dx?ln?1?x2?Cxx将x?1时y?0代入?C?0，

1?1?x2即乙行进的轨迹方程为y?ln?1?x2 x

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