走进2018年中考数学复习专题攻略：走进2018年中考数学复习专题攻

走进2018年中考数学复习专题攻略第五讲二次函数压轴问题

【专题解析】

函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题.解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案. 【方法点拨】

二次函数主要是借助动点问题和三角形、四边形相关的研究，分析此类问题主要是化动为静，化大为小，逐一解答的过程。 【类型突破】

类型一：函数动点问题

（2017?营口）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；

（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴﹣2；

（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则﹣2，

设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE， ∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，）， ∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣

1×=

； ，解得：

，∴y=x

，解得：

，抛物线解析式为y=x2﹣x

（3）存在，设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，如图1，

∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；

②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1， 过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12， ∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，

），

∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，∴N（5﹣，），

③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2， 即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12， ∴n1=4+

，n2=4﹣

（不合题意，舍去），∴N（5+

，

），

综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），

以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键． 变式练习：

（2017黑龙江鹤岗）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+

=0（OA＞OC），直线y=kx+b

分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线

MN上的点D处，且tan∠CBD= （1）求点B的坐标； （2）求直线BN的解析式；

（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．

【考点】FI：一次函数综合题．

【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标； （2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；

（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为?BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S可分别得到S与t的函数关系式． 【解答】解： （1）∵|x﹣15|+

=0，∴x=15，y=13，∴OA=BC=15，AB=OC=13∴B（15，13）；

四边形BNN′B′

﹣S△OGN′，

（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，

由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°， ∵tan∠CBD=，∴

=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，

∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，

∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°， ∴∠ONM=∠CBD，∴

=，∵DE∥ON，∴

=

=，且OE=3，∴

=，解

得OM=6，∴ON=8，即N（0，8）， 把N、B的坐标代入y=kx+b可得∴直线BN的解析式为y=x+8；

（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′， 当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，

，解得

，

由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，∴S=NN′?OA=15t； 当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，

∵NN′=t，∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，

令y=0，可得x=3t﹣24，∴OG=24，∵ON=8，NN′=t，∴ON′=t﹣8，

∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96； 综上可知S与t的函数关系式为S=类型二：二次函数存在点问题研究

（2017贵州安顺）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；

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