高考 中考 高中 初中 数学 资源 全国 期末 试卷 高三 高二 高一 经典 课件 向量 不等式 训练 打包 模拟 测试 三角 函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数形结合 思想方法 备课 苏教 人教 北师大 真题 特级 逻辑 数列 平面 圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率 统计复数 课标 单元 正弦 余弦 定理 应用 易错题 疑难 答案 名校 名师 专题 训练
一、二维形式的柯西不等式
(a b)(c d) (ac bd)
2
2
2
2
2
(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)
二、二维形式的柯西不等式的变式 (1)a b c d(2)a b c d
2
2
2
2
2
2
2
ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)
bd)(a,b,c,d 0,当且仅当ad bc时，等号成立
.)
2
2
(3)(a b)(c d)
(
ac
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.)
借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法 （1）巧拆常数：
例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：（2）重新安排某些项的次序：
例2：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2 R 求证：(ax1 bx2)(bx1 ax2) x1x2 （3）改变结构：例3、若a>b>c 求证：（4）添项：例4：a,b,c R求证：
2a b
2b c
2c a
9a b c
1a b
b
1b c
c
4a c 3
a
b cc aa b2
【1】、设a ( 2,1,2), b 6，则a b之最小值为________；此时b ________。
答案： 18; (4, 2, 4) 解析：a b ab ∴a b 18 ∴ 18 a b 18
之最小值为 18，此时b 2a (4, 2, 4) a b
222
【2】 设a (1，0， 2)，b (x，y，z)，若x y z 16，则ab的最大值为 。
【解】∵ a (1，0， 2)，b (x，y，z) ∴ a．b x 2z
由柯西不等式[12 0 ( 2)2](x2 y2 z2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z)2 45 x 45
45 a．b 45，故a．b的最大值为
45
【3】空间二向量a (1,2,3)，b (x,y,z)，已知b (1)a b的最大值为多少？(2)此时b ？
Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)
【4】设a、b、c为正数，求(a b c)(
4a 9b 36c
)的最小值。Ans：121
【5】. 设x，y，z R，且满足x2 y2 z2 5，则x 2y 3z之最大值为
高考 中考 高中 初中 数学 资源 全国 期末 试卷 高三 高二 高一 经典 课件 向量 不等式 训练 打包 模拟 测试 三角 函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数形结合 思想方法 备课 苏教 人教 北师大 真题 特级 逻辑 数列 平面 圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率 统计复数 课标 单元 正弦 余弦 定理 应用 易错题 疑难 答案 名校 名师 专题 训练
解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 5．14 70∴ x 2y 3z最大值为70
【6】 设x，y，z R，若x2 y2 z2 4，则x 2y 2z之最小值为(x，y，z) 解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)[12 ( 2) 2 22] 4．9 36 ∴ x 2y 2z最小值为 6
此时
23
43
43
x1
y 2
z2
6
2 ( 2) 2
2
2
2
23
∴ x ，y ，z
【7】设x,y,z R，x2 y2 z2 25，试求x 2y 2z的最大值M与最小值m。 Ans：M 15;m 15
【8】、设x, y, z R, x2 y2 z2 25，试求x 2y 2z的最大值与最小值。 答：根据柯西不等式
(1 x 2 y 2 z)2 [12 ( 2)2 22](x2 y2 z2) 即(x 2y 2z)2 9 25 而有 15 x 2y 2z 15 故x 2y 2z的最大值为15，最小值为–15。
【9】、设x, y, z R, 2x y 2z 6，试求x2 y2 z2之最小值。 答案：考虑以下两组向量
u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式(u v) u [2x ( 1)y ( 2)z]2 [22 ( 1)2 ( 2)2](x2 y2 z2)即
(2x y 2z)2 9(x2 y2 z2) 将2x y 2z 6代入其中，得 36 9(x2 y2 z2) 而有 x2 y2 z2 4 故x2 y2 z2之最小值为4。
【10】设x,y,z R，2x y 2z 6，求x2 y2 z2的最小值m，并求此时x、y、z之值。 Ans：m 4;(x,y,z) (,
34
23, 43)
2
2
2
v，就有
【11】 设x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2之最小值为 解： 2x 2y z 8 0 2(x 1) 2(y 2) (z 3) 9，
考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v =( , , ) (u v) u[2(x 1) 2(y 2) (z 3)]2 [(x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2]．(22 22 12)
(x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2
( 9)9
2
2
2
2 v
9
2
2
2
【12】设x, y, z R，若2x 3y z 3，则x (y 1) z之最小值为________，又此时y ________。 解： 2x 3y z 3 2x 3(y 1) z ( )，
考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v =( , , )
[x (y 1) z][2 ( 3) 1] (2x 3y 3 z)[x (y 1) z] 解析：
x
y 1 3
3
z1t ,
27
2x
3y
z
3, 2t(2 )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3614
∴最小值
3
187
2
t 3( 3t 1)
∴t
7
∴y
4a 9b 16c
【13】 设a，b，c均为正数且a b c 9，则解：考虑以下两组向量
之最小值为
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