2013届新乡许昌平顶山高三第三次调研考试(6)

1 0。

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l过点A(0,1)且斜率为k（k 0），问：在双曲线C的右支上是否存在唯

一点B，它到直线l的距离等于1。若存在，则求出符合条件的所有k的值及相应点B的坐标；若不存在，请说明理由。

一、选择题： 数学试卷参考答案

二、填空题： 11．{x|1

x 2}

12．

4 3

13．20，990

14．4， 2

三、解答题： 15．解：由

π

y sin2x 1 cos2x 3 2x 2得

4

最小正周期T

2

2

3

，最大值

ymax2，最小值ymax 2。

f

(1) 3a 2b 3

16．解：（Ⅰ）f(x) ax

f (2) 12a 4b 0依题意，得 bx2 f (x) 3ax2 2bx。 a 1,b 3；

，f (x) 3x2 6x。故由f (x) 3x2

6x 0 x

0orx 2

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知

f (x) 3x2 6x 0 0 x 2，即函数f(x)的单调递增区间为( ,0)、(2, )，单调递减区

间为(0,2)。

17．解：如图建立空间直角坐标系，则

（Ⅰ）证明：因为B( 1,0,0)，E(1,0

,1)，

A(00)，B1( 1,0,2)，

所以BE (2,0

,1)，AB1 ( 1,2)，故

BE AB1 2 ( 1) 0 ( 1 2 0，

因此，有BE

y

x

B

AB1；

（Ⅱ）设n1

(x

,y,z)是平面ABB1的法向量，

因为AB1 ( 1,2)，BB1 (0,0,2)，所以由

n1 AB1 n1 AB1 x 2z 0

可取n1 1,0)；

n1

BB1 n1 BB1 2z 0

同理，n2 (2,0,1)是平面AB1D的法向量。设二面角B AB1 D的平面角为 ，则

|n1 n2|。 cos |cos n1,n2 | |n1| |n2|

18．解：（Ⅰ）乙获胜的概率为P 1

5 5 3 3 2 2

0.62；

10 10

（Ⅱ）设甲得分为 ，则 的可能取值为0、1、2、3，其分布列为：

从而甲得分的数学期望是

E 0 0.62 1 0.25 2 0.09 3 0.04 0.55。

19．证明：（Ⅰ）因为对于任意的实数x、y都有f(x y) f(x) f(y)，故

令x y 0得f(0 0) f(0) f(0) f(0) 0，再令y x得

f(0) f(x ( x)) f(x) f( x) 0，即f( x) f(x)，

所以f(x)是奇函数；

（Ⅱ）设x1,x2 R且x1

x2，则x1 x2 0，故f(x1 x2) 0，从而

f(x1) f[(x1 x2) x2] f(x1 x2) f(x2) f(x2)，

所以

f(x)在R上是增函数。又因为f(0) 0，f(1) 1，所以当0 x 1时，有

0 f(x) 1。

由

……①

f(2) f(1) f(1) 2 2 an 1 f(2 an) f(2) f(an) 2 f(an)，即有

an 1 f(an)。

……②

下面用数学归纳法证明：对任意的n N，都有0 an⑴当n 1时，命题显然成立； ⑵假定当n k时，命题成立，即0 ak

即当n k 1时，命题也成立。

由⑴、⑵及数学归纳法原理知：上述命题成立。

1。

1

，则由①知：0 f(

ak) 1，由此及②得0 ak 1 1，

x2y2

20．解：（Ⅰ）依题意，可设双曲线C的方程为2 2 1（a 0，b 0），则

ab

c2 a2 b2

22

c，即双曲线C的方程为x y 1； a b 1 a a2

c

（Ⅱ）依题意，直线l的方程为

y kx 1（k 0），

设B(x0,y0)为双曲线C上到直线l的距离等于1的点，则

d1。

⑴若0 k 1，则直线l与双曲线C右支相交，故双

曲线C的右支上有两个点到直线l的距离等于1，与题意 矛盾；

⑵若k 1（如图所示），则直线l在双曲线C的右支的上方，故

y0 kx0 1，

2

1 y0 kx0 1。又因为x0

2 y0 1，所以有

2

x0 (kx0 12 1，

整理，得

2

(k2 1)x0 2k(1x0 k2 3 0。……（★）

①若k

1，则由（★）得x0

y0 kx0 1

1，即B；

②若k 1，则方程（★）必有相等的两个实数根，故由

4k2(12 4(k2 1)(k2 3) 4(3 0，

解之得k

（k ，此时有

x0 y0 kx0 1

2，即B2)。

综上所述，符合条件的k的值有两个：k

1，此时B

；k

，此时B2)。

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