2012数学总复习之离散型随机变量的期望值和方差知识总结(题目)(2)

2012高考数学总复习

12

1 2q q 1 2

解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以 0 1 2q 1

2

q 1

解得q 1

22

。

于是， 的分布列为

12

32

2) 1

2， 2)

所以E ＝（－1） D ＝ 1 (1

0 (2 1) 1 ( 12 (1

2

2)

2

2) (2 1) 1 (1

2

(

32

2) 2 1

说明：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E ＝

( 1)

12

0 (1 2q) 1 q

2

q

2

12

。

练习：已知ξ的分布列为 (1)求Eξ, Dξ, δξ， (2) 若η=2ξ+3,求Eη,Dη

1

1

1

1 1 1 1 1 15

解：（1）Eξ= 1 0 1 , Dξ 1 0 1 ,

23633 2 3 3 3 69

1

222

δξ=

53

73

（2）Eη=E(2ξ+3)= 2 Eξ+3=, Dη=

209

例3、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费a

元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利？

剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数 的期望值大于0，故需求E 。 解：设 为盈利数，其概率分布为

2012高考数学总复习

且E ＝a(1 p1 p2) (a 30000)p1 (a 10000)p2 a 30000p1 10000p2 要盈利，至少需使 的数学期望大于0，故a 30000p1 10000p2。 说明：（1）离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值

（2）本题中D 有什么实际意义？

例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求E 、D

剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为A4 4!, P( 0)

P( 1)

3664

,同样可分析

4

4!4

4

664

；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为C4C4A3，

123

P( 2),P( 3)。

解： 的所有可能取值为0，1，2，3。

A44

44

P( 0)

664164

,P( 1)

C4C4A3

4

4

123

3664

,P( 2)

C4C4 C4C4A2

4

4

22232

2164

,

P( 3)

C44

4

1

。

所以 的分布列为：

8164

。

所以E ＝

，D ＝

169564

2

说明：本题的关键是正确理解 的意义，写出 的分布列。 例5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）

试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。

解：设随机变量ξ与η分别表示甲、乙两厂上缴利税数，

依题意有P(ξ=k)=Eξ=Eη=

1414

14

，P(η=k)=

14

(k=1，2，3，4)

×(70+50+80+40)=60 ×(55+65+55+65)=60

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Eξ2=Eη2=

1414

×(702+502+802+402)=3850 ×(552+652+552+652)=3625

Dξ=Eξ2-(Eξ)2=250，Dη=Eη2-( Eη)2=25

由上述计算可知，两厂上缴利税的期望相等，说明平均水平相同；而甲厂的方差大于乙厂的方差，说明乙厂的波动性小，生产稳定；甲厂的波动性大，导致生产不稳定。

说明：本题考查利用离散型随机变量的方差与期望的知识，分析解决实际问题的能力。 例6、(1)设随机变量ξ具有分布列为P(ξ=k)=

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