2012数学总复习之离散型随机变量的期望值和方差知识总结(题目)

2012高考数学总复习

2012数学总复习之离散型随机变量的期望值和方差知识总结（题目）

一、基本知识概要：

1、 期望的定义：

一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为

则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+ +xnPn+ 为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP

2、 方差、标准差定义：

Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+ +(xn-Eξ)2·Pn+ 称为随机变量ξ的方差。 Dξ的算术平方根D =δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。 若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.

3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 （ ）

A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。 C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。

D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。 解：选C

说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。

（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。

解：含红球个数ξ的Eξ=0×

110

+1×

610

+2×

310

=1.2

说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解 ，会 ”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。

例2、设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E 、D

剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出E 、D 。

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