北京市海淀区2013高三上学期期末考试数学文试题(4)

4

18.（本小题满分13分）

已知函数2

11()22

f x x =

-

与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设

()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.

（I ） 求a 的值

（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .

19. （本小题满分14分）

已知椭圆M ：

22

2

1(0)3

x y

a a

+

=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .

经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段C D 的长；

（Ⅲ）记ABD ?与A B C ?的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.

20. （本小题满分13分）

已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x

=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为

“一阶比增函数”.

(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；

(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ?∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； （Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.

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