圆与方程知识点整理

高一数学

一、标准方程

（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论

2

PB

的最值

x a

2

y b r2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心 a,b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

PBmin BN BC r PBmax BM BC r

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式

圆心在原点 x2

y2

r

2

r 0

过原点 x a 2 y b 2 a2 b2 a2 b2

0圆心在x轴上 x a 2

y2 r2

r 0

圆心在y轴上 x2 y b 2 r2

r 0

圆心在x轴上且过原点 x a 2 y2 a2

a 0

圆心在y轴上且过原点 x2 y b 2 b2

b 0

与x轴相切 x a 2 y b 2 b2

b 0

与y轴相切 x a 2 y b 2 a2

a 0

与两坐标轴都相切 x a 2 y b 2 a2

a b 0

二、一般方程

x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0

1.Ax2 By2

Cxy Dx Ey F 0表示圆方程则

A B 0 A B 0 C 0

C 0 D 2E2

D2 E2 4AF 0 A

A 4 FA 02.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r4

3.D2

E2

4F 0常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系

d r 点在圆内；d r 点在圆上；d r 点在圆外2.涉及最值：

PAmin AN r AC PAmax AM r AC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（d为圆心到直线的距离）

（1）相离 没有公共点 0 d r （2）相切 只有一个公共点 0 d r （3）相交 有两个公共点 0 d r

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i）点在圆外

如定点P x2

2

22

0,y0 ，圆： x a k x yx b r，[ x0 a 2

y2

0 b r]

第一步：设切线l方程

y y0 0

第二步：通过d r k，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！ii）点在圆上

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