概率论与数理统计(昆工版(教材习题第一至六章(学生用)(2)

7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X 的分布律。 解：2045.011

9123}1{,75.0129}0{≈?=====X P X P .0045.09

9101112123}3{,0409.010*******}2{≈?==≈??==X P X P 8从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,…,10的概率与i 成正比，即.,10,,2,1,}{k i ki i X P 求 === 解：由归一性：k k ki i X P i i 5511102

1}{1101101=??====

∑∑==,.551=k 9 已知随机变量X 服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件01.0}{=>N X P 的自然数N. 解：.4)61211(1!1}1{99.010

1=?++==-≤≥∑-=-N e k e N X P N k

10 某公路一天内发生交通事故的次数X 服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。

发生交通事故数X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P

,!

02}0{,2220--====e e X P λ一周内发生交通事故的次数记为Y 则Y 服从二项分布)1,7(2--e B ，故一周内没有发生交通事故的概率为

14140207)1(}0{---=-==e e e C Y P

11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。 001.0=p ，（每个工作时内发生故障的概率）

X ：100作时内发生故障的次数，X ～)001.0,100(b

99984.01.0!

221.01.0!11.0!01.01.02001.098999.02100001.099999.01100100999.00100}2{}1{}0{}2{≈-+-+-=≈≈?+?+==+=+==≤e e e np C C C X P X P X P X P λ 12设X ～],5,2[U 现对X 进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。

解:322535}3{=--=

>X P .Y 表示对X 进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y ～)32,3(b ，

7 27

2027894)32(31)32(}3{}2{}2{333223=+=+==+==≥C C Y P Y P Y P 13 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为

,32求在50头已感染的羊群中发病头数的分布律。 )50,,2,1,0(,)3

1()32(}{5050 ===-k C k X P k k k 14设随机变量X 的概率密度为?

??<<=,0,10,2)(x x x f ，Y 表示对X 的三次重复观察中事件??????≤21X 出现的次数，则64

943161343)41(}2{223=?===C Y P 15已知X 的概率密度为???≤>=-.0,

0,0,)(2x x e ax x f x λ试求（1）未知系数a,(2)X 的分布函数F(x);(3)X 落在区间)1,0(λ

内取值的概率。 解：（1）x x de x a dx e x a dx x f λλλ-∞+-∞+∞∞-???-===2020)(1)(20

202x d xe a e x a x x λλλλλ---=-∞+∞+-? .2;22)(2233030202λλλλλλλλ=?=-=--=∞+--∞+∞+-?

a a e a x d e a xe a

x x x

（2）e x x x x e x F x 251)3(.0,

0,0),22(21)(22-?????≤>++-=-λλλ 16 设随机变量X 在[1，6]内服从均匀分布，求方程012=++Xx x 有实根的概率。

解：方程012=++Xx x 有实根，等价于：,2,2042-<>?>-=?X or

X X 方程012=++Xx x 有实根的概率为.5

4=P 17 已知随机变量X 服从正态分布b aX Y a a N +=且),,(2服从标准正态分布N （0，1），求.,b a

解：由37页例3知b aX Y +=服从正态分布),(),(4222a b a N a a b a a N +??+?，又已知 b aX Y +=服从标准正态分布N （0，1），故a=1,b=-1.

18已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且X 落入区间（1，2）内的概率达到大，求λ

X 服从参数为λ的指数分布，则?

??≤>?=-.0,0,0,)(x x e x f x λλ???≤>?-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ λλλλλ22)1()1()21{)(-----=---=<<=e e e e X P g

.2ln ,0)12(2)(2=?=-=+-='----λλλλλλe e e e g

19设随机变量 X ～N(1,4);求).1(),6.10(<≤≤X P X P

8

解：由35页（5）式有：)2

1

0()216.1(

}6.10{---=≤

.0)6915.01(6179.0)2

1

()3.0(=--=--=φφ..5.0)0()211(}1{==-=<φφX P 20 设电源电压（单位：V ）X 服从)25,220(2N ，在240,240200,

200>≤<≤X X X 三种情况下电子

元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，求：（1）该电子元件损坏的概率α 解：由35页（5）式有：2119.07881.01)8.0()25

220

200(

}200{≈-≈-=-=≤?φX P 5762

..017881.021)8.0(2)25

220

200()25220240(}240200{=-?≈-=---=≤X P X P X P

063.02.02119.0001.05762..01.02119.0≈?+?+?=α

(2) 该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。 009.0063

.0001

.05762.0≈?=

β

求2X Y =的分布律。

解：Y 的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有：

得2X Y =的分布律为

22 设随机变量X 服从参数为0.7的0—1分布，求X X X 222-及的分布律。 解：2X 参数为0.7的0—1分布。

7.0}1{}12{,3.0}0{}02{22===-=-====-X P X X P X P X X P

23 设随机变量X 的概率密度函数为X Y x x f X 2,)

1(1

)(2

=+=求π内的概率密度函数).(y f Y

解：对任意的Y.

dx x f y

X P y X P y Y P y F X y

Y )(}2{}2{}{)(2?∞-=≤=≤=≤=dx x y

)

1(122

+=?∞-π，

9

所以：.)

4(2

)().(2

y y F y f Y

Y +='=π

24设随机变量X 服从U[0,2],求随机变量2X Y =在[0，4]内的概率密度函数).(y f Y

解：当40≤≤Y 时：dx x f y X y P y Y P y F X

y

y Y )(}{}{)(2

?

-=≤

≤=≤= dx dx y y

21

00

?

?

+=-，所以：??

?

??≤≤='=.,0,40,41

)().(其它y y y F y f Y

Y 25 设随机变量X 的概率密度函数为X x X e Y x x e x f =???<≥=-求,,

0,0,

0,)(的概率密度函数).(y f Y

解：当1

1

dx e dx y X P y e P y Y P y F x y X Y -∞

-?

?+=

≤=≤=≤= 所以：??

???<≥='=.1,0,1,1

)().(2y y y y F y f Y Y

补充：设X ～x e Y N =求)1(),1,0(的概率密度，（2）求122+=X Y 的概率密度， +∞

====='==>='∞+∞-==∞=∞-∞+∞-},m ax{,0},m in{,1

)(,

ln )()(,0)()()1(e e e e y y h y y h x x g e x g e x g Y x x βα有反函数，且）上恒有，在（ 故Y 的概率密度?

????≤>=-,0,

00,21)(2)(ln 2

y y e y y f y Y π (2)因

1

122≥+=X Y 则

)

1(,0)(≤=y y F y ，

当

1

>Y 时，

?

??

??

≤>-===

-<<--=<+=--

--

---

-

??

1,

0,

1,

)

1(21)(21221}21

2

1

{}12{)(41

2

10

2

2

1

2

12

222

y y e y y f dx

e

dx e

y X y P y X P y F y Y y x y y x

y ππ

π

习题三

1.离散随机变量Y

X 与相互独立同分布，,21}1{}1{=-==-=Y P X P .2

1

}1{}1{====Y P X P 求}{Y X P =的

概率.

10 .2

1)(}1,1{}1,1{}{===+-=-===已知独立Y X P Y X P Y X P .即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, Y X 与一般不会以概率1相等.

2设二维随机变量),(Y X 的概率分布如下表：

(1) 求b,(2)随机变量X,Y 是否相互独立？（3）求}1,1{≤≤Y X P

;1,0;2,1,0};{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故X,Y 相互独立；

（3）.7.035.014.015.006.0}1,1{=+++=≤≤Y X P 补充题：设X 和Y 是相互独立同分布的随机变量，且,21}1{}1{====Y P X P ;21}2{}2{====Y P X P 求Y X Z +=的概率分布.

,41}2{==+Y X P }2{}1{}3{====+Y P X P Y X P 21}1,2{===+Y X P ,,41}4{==+Y X P （2）由已知易得,21}22{==X P ;2

1}42{==X P 3 设,31)(,31)(,41)(===A B P B A P A P 令???=???=,,0,,1,,0,,1不发生发生不发生发生B B Y A A X 求X,Y 的联合概率分布。 解：由6

1)(,4131121)()()(,121)(,43)(,31)(,41)(======?==B A P B A P AB P B P AB P A P B A P A P 32)(31)(,924

361

)

()()(=?====A B P A B P A P B A P A B P .1213141)/()(}1,1{11======A B P A P Y X P P .6

13241)/()(}0,1{12======A B P A P Y X P

P .1219243)/()(}1,0{21======A B P A P Y X P P .12

81}0,0{21121122=---====p p p Y X P P 4设二维随机变量),(Y X 的概率分布如下表：

11

（1）求X,Y 的边缘分布律。

解：见上表。

（2）求Y=1的条件下X 的条件分布律及X=2的条件下Y 的条件分布律。

略。

5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，

每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X , Y 如下：

???=,1,0品，若第一次取出的是次若第一次取出的是正品X ?

??=;1,0品，若第二次取出的是次若第二次取出的是正品Y 试分别就（1）、（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律．并问随机变量X 和Y 是否相互独立？

（1）放回时，,365}1,0{,3625}0,0{======Y X P Y X P ,365}0,1{===Y X P ,36

1}1,1{===Y X P （2）不放回抽样，,6610}1,0{,6645}0,0{====

==Y X P Y X P ,661}1,1{,6610}0,1{======Y X P Y X P 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立．

6.随机变量),(Y X 在矩形域d y c b x a ≤≤≤≤,上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X 及Y 是否独立？

解 按题意),(Y X 具有联合概率密度?????≤≤≤≤--=.,

0,,,))((1),(否则d y c b x a d c a b y x f

?????><≤≤-=b x a

x b x a a b x f X ,0,1)(, ?????><≤≤-=d y c y d y c d c y f Y ,0,1)(,X 及Y 是独立的.

事实上,若),(Y X 服从区域D 上的均匀分布，则只有当D 为矩形区域：d y c b x a ≤≤≤≤,时，X 与Y 分别服从

],[],,[d c b a 上的均匀分布，且X 与Y 独立，反之亦然.

7 随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F =)3arctan )(2arctan (1

2y C x B ++π. 求：（1）),(Y X 的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X 与Y 是否独立？ 解 由分布函数的性质有),(-∞x F =0,0),(=-∞y F ),(+∞+∞F =1

从而对任意的y x ,；有0)2)(2arctan (1

2=-+ππC x B ，,0)3arctan )(2(1=+-y C B ππ于是，有2π=B ，2π=C )9)(4(6),(222y x y x f ++=π)4(2)(2x x f X +=π，)9(3)(2y y f Y +=π 独立。

8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X 与Y 相互独立，且都服从。N(0,1)分布，规定点A 落在区域}1),{(221≤+=y x y x D 得2分，点A 落在区域}41),{(222≤+<=y x y x D 得1分，点A 落在区域}1),{(223>+=y x y x D 得0分，以Z 记打靶的得分，写出X,Y 的联合概率密度，并求Z 的分布律。

12 解：,,,21),(22

2+∞<<-∞+∞<<-∞=+-y x e y x f y x π .121),(}2{21

1022102012222---<+-=-===

=????e e rdr e d dxdy y x f z P r r y x θππ极坐标

.),(}1{22121241222---<+≤-=-===

=??e e e dxdy y x f z P r y x

.),(}0{2224222-∞+-≥+=-===

=??e e dxdy y x f z P r y x

9 设二维随机变量（X,Y ）的概率密度函数为???>>=+-,,

0,0,0,),()43(其它y x Ae y x f y x （1）求常数A,(2)X,Y 的边缘概率密度。（3）}20,10{≤<≤

解：（1）由))((12),(10403)43(00∞+-∞+-+-∞+∞+∞+∞-∞+∞-===?

???y

x y x e e A dxdy e A dxdy y x f 得12=A （2）???>>=+-,,0,0,0,12),()43(其它y x e y x f y x ?????≤>==---∞+?,0,

00,312)(3430x x e dy e e x f x y x X ?????≤>==---∞+?,0,

00,412)(4430y y e dx e e y f y y x Y （3）dy e dx e Y X P y x 42010312}20,10{--?

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