概率论与数理统计(昆工版(教材习题第一至六章(学生用)(3)

?=≤<≤<).1)(1())((83204103--==----e e e e y x 10 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：???<<<<=,,

0,10,10,),(2其它y x cxy y x f （1）求c,(2)问X 与Y 是否相互独立？

解：（画图）6,1)3

121121010==??=??c dx c dy y xdx c ；当10≤≤x 时，.26)(210x dy xy x f X ==? 故.,,0,10,2)(???≤≤=其它x x x f X .,,

0,10,36)(2210?????≤≤==?其它y y dx xy y f Y （2）独立。

11 平面区域D 由曲线x

y 1=及直线y=0,x=1,2e x =所围成，二维随机变量(X,Y)在D 上服从均匀分布，求（X,Y ）关于X 的边缘密度在x=2处的值。 解：2ln 122211101====???e e x e D x dx x dy dx S ,.41)2(,

0,21,2121)(10=??????≤≤==?X x X f x x dy x f 其它

13

12略

13设随机变量X,Y 相互独立，均服从同一分布，试证：.2

1}{=≤Y X P 证：},{}{X Y P Y X P ≤=≤

1}{)}(){(}{}{=Ω=≤?≤=≤+≤P X Y Y X P X Y P Y X P 故.2

1}{=

≤Y X P 14.设随机变量Y X ,相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件}{a X A ≤=.},{a Y B >=且,9

7

)(=

B A P 求常数a 4

)3)(1(123212321)()()()()(97--+

=----+-=-+=?=a a a

a a a B P A P B P A P B A P 3

7

3

5,0)73)(53(,035369;92434,4341222=

=

=--=+--=+-?+-+=a or a a a a a a a a a 15（1）X 和Y 是相互独立同分布的随机变量，且,21}1{}1{====Y P X P ;2

1

}2{}2{====Y P X P 求Y X Z +=的

概率分布. ,41}2{=

=+Y X P }2{}1{}3{====+Y P X P Y X P 21}1,2{===+Y X P ,,4

1

}4{==+Y X P

（2）求2X 的分布。

注意：由已知易得,21}22{==X P ;2

1

}42{==X P

例 （习题16） 设),(Y X 的概率分布如下表3—5： 表3—5

求1)X+Y 的概率分布，（2）X-Y 的概率分布. 解：由上表3-5 表3—6

从而易得X+Y 和X-Y 的概率分布.

14 17 设X 和Y 是相互独立的随机变量，X ～);,(1p n B Y ～);,(2p n B 证明Z=X+Y X ～);,(21p n n B + 证明：}{}{}{0i k Y P i X P k Z P k i -===

=∑=

)

()(0

0)(0212121212211k n m i k n i m k i k n n k k n n k n n k i k n i n k i i k n i k i k n i n i i n k i C C C q p C q p C C q p C q p C +-=-++-+-=-----=====∑∑∑其中用到组合公式

18略

19 设随机变量1X ～N(1,2);2X ～N(0,3),3X ～N(2,1),且321,,X X X 相互独立，求 ).8413.0)1((},6320{321=Φ≤-+≤已知X X X P 解：由62页32132X X X -+～N(2×1+3×0-2,4×2+9×3+1×1)即N(0,36),故由34页有 3413.0)0()1().8413.0)1((),6

00()606(}6320{321=Φ-Φ==Φ-Φ--Φ=≤-+≤已知X X X P 20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为???≤>=-0,00,)(t t te t f t ，设各周的需要量是相互独立的，

试求两周需要量的概率密度.

i X 表第i 周的需求量，各i X 相互独立。设两周的需求量为21X X Z +=，则 111111)()(),()(21dx x z f x f dx x z x f z f X X Z -=-=??+∞

∞-+∞∞-,要???>>?>-11

11,0,0)()(21x z x x z f x f X X 而,)()()()(11)(11111121z x z x X X e x z x e x z e x x z f x f -----=-=- 故)0(,6)32()()(2031211110>=-=-=---?z e z e x z x dx e x z x z f z z z z z Z ,故?????≤>=-0,00,!3)(3z z e z z f z Z 21 设随机变量(X,Y)的概率密度为：

?????>>+=+-,,

0,0,0,)(21),()(其它y x e y x y x f y x （1）X 与Y 是否相互独立，（2）求Z=X+Y 的概率密度。 解：（1）y x y x X de y x e dy e y x e x f -∞+--∞+-+-=+=?

?)(21)(21)(00 .),()(),(),1(21)(),1(21)(2121):)((21)(21000不独立常量注x f x f y x f y e y f x e e e xe x y x d e e e y x e Y X y Y x y

x x y x y

x ≠+=+=-+=+++-=--∞+----+∞-∞+--? .2121)(21),()(,0)2(20)(0z z z x z x z Z e z dx ze dx e x z x dx x z x f z f z ---+-+∞∞-==-+=-=>?

??时当 22.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从)400,160(N 分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.

15 设i X 为选取的第i 只电子管的寿命，则i X ～)20,160(2N .4,3,2,1=i 令},,,m in{4321X X X X Y =则=>}180{Y P [}180{1>X P ]4，而1587.0)1(1}180{1=-=>φX P 因此000634.0}180{=>Y P 23 设随机变量321,,X X X 相互独立，且i X 服从参数为)0(>i i λλ的指数分布，求}.},,{min{2321X X X X P =

解：321,,X X X 的联合密度为???>=---,,

00,,,),,(321321321332211其它x x x e x x x f x x x λλλλλλ .)(},{}},,{min{32122)(02331122023132103212232123213321122233221122λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++====≤≤==++-∞+-∞+-∞+-∞+---+∞+∞+∞?????

??dx e dx e dx e dt e dx dx dx e e e X X X X P X X X X P x x x x x x x x x x x

习 题 四

补充;设随机变量321,,X X X 独立，1X 在[0.6]上服从均匀分布，2X 服从)2,0(2N ，3X 服从参数为3=λ的泊松分布，记32132X X X Y +-=，则4639443)(9)(4)()(321=?+?+=++=X D X D X D Y D

X 求)()3(),1()2(),()1(2X E X E X E +-

解：3

2)1(;314121************)1()(=+-=?+?+?+?+?-=X E X E ;24

354141211614161031)1()(222=?+?+?+?+?-=X E 2 设X 的概率密度为???∞<<=-,,

0,0,)(其它x e x f x 求)()2(),()1(2X E X E 解：1)(00000=-=+-=-==∞+--+∞∞+--+∞-+∞???x

x x

x x e dx e xe xde dx xe X E

22)(00220202=+-=-==-+∞∞+--+∞-+∞?

??dx xe e x de x dx e x X E x x

x x 3 设随机变量Y X ,相互独立，其概率率密度分别为：???≤>=???≤≤=--.5,

0,5,)(.,0,10,2)()5(y y e y f x x x f y Y X 其它求E(XY).

解： )()2()()().()5(5102dy e y dx x Y E X E XY E y --∞

+???==独立

16

4)15(3

2][32))(32()5(55)5()5(5103=+=+-=-=--∞+∞

+----∞+?

?dy e ye yde x y y y 4 验证)(,)

1(1

)(2

+∞<<-∞+=

x x x f π是某个随机变量X 的概率密度，但具有这概率密度的随机变量X

的数学期望不存在。 证明：（1）

1)

1(1

)

1(1

)(2

20

=+++=?

?

?∞

+∞-∞

+∞

-dx x dx x dx x f ππ

（2）

dx x x

dx x x

dx x xf )

1()

1()(2

20

+++=?

??∞

+∞-∞

+∞

-ππ

而

∞=+=

+∞-∞-?0

220

)1ln(1

)

1(x dx x x

π

π；所以……。

5．一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布，概率密度为??

???≤>=-.0,0,

0,41)(4x x e x f x

工厂规定，出售

的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300

元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

:A 售出设备一年内调换，:Y 表示调换费用。则：?-

-

-==

1041

4,141)(e dx e

A P x

∑-=

-k

k k p y Y E )100()100(=64.33)1(20010041

4

1=---

-

e

e

（元）

6某车间生产的圆盘直径在期间),(b a 上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

解 直径X ～?????≤≤-=,,

0,

,1)(其它b x a a b x f 记圆盘面积S,则

).(12

31414)4()(2

2322b ab a x a b dx a b x x E S E b a b a ++=?-?=-=?=?

ππππ

7．设Y X ,的分布律如下表:

17 （1）求)(),(Y E X E ，（2）设X

Y Z =，求);(Z E （3）设,)(2Y X Z -=求).(Z E （1）Y X ,的边缘分布见上表，故：,24.032.024.01=?+?+?=EX 03.013.01=?+?-=EY

（2）1511.0310311.0212.011-=?++-+-+-=

=∑∑ i j ij i j P X Y EZ ,（3）5)(2==-=∑∑ i j

ij j i P y x EZ

8Y X ,是相互独立同分布的随机变量，且,21}1{}0{=

===X P X P 求},min{},max{Y X Y X 和的数学期望。

解：记},min{},,max{Y X m Y X M ==则：

41}0{}0{}0{=====Y P X P M P ，4

3}0{1}1{==-==M P M P 41}1{}1{}1{=====Y P X P m P ，4

3}1{1}0{==-==M P m P 故4

1}],[min{,43}],[max{==Y X E Y X E 9 设随机变量),(Y X 的概率密度为???≤≤≤=,,

0,10,12),(2其它x y y y x f 求：).(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E + ?????∈==?,,0)1,0(,412)(320其它x x dy y x f x X ?????∈-==?,,

0)1,0(),1(1212)(221其它y y y dx y y f y Y .544)()(41010===??dx x dx x xf X E X .5

3)1(12)()(31010=-==??dy y y dy y yf Y E Y .2112)(2010=?=??dydx y xy XY E x 15

165232)()()(21021022=+==+=+?? dy y f y dx x f x Y X E Y X 10 设系统I 由元件B A ,并联而成，Y X ,分别表示B A ,的寿命（以h 记）并设B A ,相互独立，且服从同一分

布，其概率密度函数为???≤>=-0,

0,0,)(x x e x f x λλ求系统I 的寿命Z 的数学期望。 解：分布函数为},{0,

0,0,1)(Y X Max Z x x e x F x =???≤>-=-而λ，由63页 ?

??≤>-=????≤>-=---,0,00,)1(2)(0,0,0,)1()(2z z e e z f z z e z F z z Z z Z λλλλ .2321222)2()(2

)(200200200λλλλλλλλλλλ=-=-++-=-+--=-+∞∞+--+∞∞+--+∞-+∞????dz e ze dz e ze z d ze z d ze Z E z z z z z z

11 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X 的期望与方差。。

18

解：2045.0119

123}1{,75.0129}0{≈?====

=X P X P .0045.09

9

101112123}3{,0409.010*******}2{≈?==≈??==X P X P

301.00045.030409.022045.0175.00)(≈?+?+?+?=X E

4086.00405.01636.02045.00045.090409.042045.0175.00)(2≈++≈?+?+?+?=X E

318.009.04086.0)()()(22≈-≈-=X E X E X D

12．随机变量X 服从几何分布，其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中10<

∑∞

=--=?=

1

1)1()(k k p q p

kq X E =)(32 +++q q q p =.1

1p q q p ='

???

? ??- ∑∑

∞

=∞

=-'=?=

1

1

1

22

)()(k k k k kq p p q

k

X E =])11

([])([1''-=''∑

∞

=q

q p q q p k k

='

???

? ??-2)1(q q p 2421)1()1(2)1(p q q q q q p +=--+-= 其中“′”表示对q 的形式导数. ,)(2

p

q X D =

，

13．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 求.2)(,2),(==X D X E 14

设X 为随机变量，c

是常数，若}.){()(:),(2c X E X D X E c -<≠证明（由于

).(}){(},)]({[)(22X E c c X E X E X E X D =--=当上式表明时取到最小值。

证明：因为})]([)({)(2.)()(}){(22222X E X E c X cE X E X D c X E --+-=--

.0)]([)]([)(2222≥-=+-=X E c X E X cE c 所以：……。

15设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为???????≤>=-.0,

0,0,)(2

22x x e x

x f x σσ其中,0>σ是常数.求).(),(X D X E

σ

π

π

σ

σ

σ

σσ

σσσσ2

4

2)2(

2)(0

)

2(

2020

20

22

2

2

2

22

2

2

=

==+

-=-

==

????∞+-∞+-

∞

+-

∞

+-

∞

+-

x d e

dx

e xe xde dx e x

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