百例高考数学压轴题精编精解

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高考数学压轴题精编精解

精选100题，精心解答{完整版}

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．

设

函

数

()1,12

1,23

x f x x x ≤≤?=?

-<≤?，

()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。

（I ）求函数()h a 的解析式； （II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求

证:

（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<

（Ⅲ）若12

a =则当n ≥2时,!n n

b a n >?.

3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：

（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，

a 为常数）；

（2）(0)()14f f π==；（3）当0,4

x π

∈

［］时，()f x ≤2

求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（只有通过不停的对x1和x2带入0 和

pai/4的整式从而才能合理利用条件1，类似的题目比这个通常简单，但他

们的方法却如出一辙，这个压轴题仅仅是用了三个方程，比别的题多一个方程）（Ⅱ）常数a 的取值范围．（没有考虑全面）

4．设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，

满足0),(),(

2211=?a y b x a y b x ，椭圆的离心率,2

3=e 短轴长为2，0为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（y1*y2可由直线方程和x1*x2而得到从而用上坐标积的条件，并且得到一个关于k 的方程，这不就是列方程么）

（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.（思路正确，计算错误，根据调节找到K ，b 关系，最后必然会被约掉）

5．已知数列{}n a 中各项为： 12、1122、111222、……、

111n ?????? 222

n ?????? …… （999等的表达方式一样） （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n . 6、设1F 、2F 分别是椭圆

22

154

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，

使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；

.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由

（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.

8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)2f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

9、已知二次函数),(2)(2R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。 （1）求实数b 的取值范围；

（2）若函数)(log )(x f x F b =在区间（-1-c ，1-c ）上具有单调性，求

实数C 的取值范围

10、已知函数,1)2

1(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的x 、)1,1(-∈y 都

有

).

1()()(xy

y

x f y f x f ++=+ （1）若数列

).(),(12,21}{*

2

11n n

n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ （2）求)21()1

31()111(

)51(12+++++++n f n n f f f 的值. （什么分之一，肯定用裂项相消法啊，如果不能直接消就看条件的变形）

11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面

内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB

= ||MC

③GM ∥AB

（1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F

） ，

已知PF ∥FQ

, RF ∥FN 且PF 2RF = 0.求四边形PRQN 面积

S 的最大值和最小值.

12．已知

α

为锐角，且

12tan -=α，函数

)4

2s i n (2t a n )(2π

αα+?+=x x x f ，数列{a n }的首项

)(,2

1

11n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：

n n a a >+1； ⑶

求

证：

),2(211

11111*21N n n a a a n

∈≥<++++++<

13．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()

111,21n n a a a n N *

+==+∈

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44

4411

11321+=---- ，证明：{}

n a 是等差数列；

2

（Ⅲ）证明：

()23111123

n n N a a a *++++<∈ （裂项相消法不行，归纳法不行，缩放法不行，常用不等式不行？哪还

有什么方法？）缩放法加函数思想，类似于根据Sn 求an 的方法。）

14．已知函数()(),02

32

32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g 在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值

范围； （II ）当2

1≥

a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/

≤x g 的充要条件是4

3≤c ；

（2）若关于x 的实系数方程()0/

=x g 有两个实根βα,，求证：,

1≤α

且1≤β的充要条件是.4

12a a c -≤≤-

15．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，前n 项的积为n T ，且满足(1)2n n n T -=。 ①求1a ；②求证：数列{a n }是等比数列；③是否存在常数a ，使得

()

()()2

12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立？ 若存在，求出a ，若

不存在，说明理由。

16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的[0,)m n ∈+∞、，都有()[()]n f m n f m = ，且(2)4f =，又当

0x ≥时，其导函数'()0f x >恒成立。

（Ⅰ）求(0)(1)F f -、的值；（Ⅱ）解关于x

的不等式：2

2f ??

≥????

，其中(1,1).k ∈-

17、一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在

()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则

称()f x 为“保三角形函数”． （I ）判断(

)1f x =

()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函

数”，哪些不是，并说明理由；

（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三角形函数”；

（III ）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值．

（可以利用公式sin sin 2sin cos 22

x y x y

x y +-+=）

18、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =

--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21=+n

n n

S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11

11n n n c a a +=

++-，数列{}n c 的前n 项和为T n .

求证：1

23

n T n >-．

19、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，1

23n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。 （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式。（一步错，步步错，计算准确很重要）

（III ）由数列{}n a 中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b n }，

求n

n n b b 1

lim

+∞→的值。

20、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动

点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=?=NP GQ NQ NP . （I ）求点G 的轨迹C 的方程；(定义法)

（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原

点，设,+= 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.

21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A ，B ，C ），B 在A 的正东

方向，相距6km,C 在B 的北偏东300

，相距4km,P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s. （1）求A 、C 两个救援中心的距离；（2）求在A 处发现P 的方向角； （3）若信号从P 点的正上方Q 点处发出，则A 、B 收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.

22．已知函数||1y x =+

，y =，11()2t y x x

-=+

(0)x > 的最小值恰好是方程32

0x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．（Ⅰ）

求证：2

23a b =+；(三次方程的因式分解)

（Ⅱ）设1(,)x M ，2(,)x N 是函数3

2

()f x x ax bx c =+++的两个极值点． ①若122

||3

x x -=，求函数()f x 的解析式；②求||M N -的取值范围．

23．如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P (2，1)，且与x 轴交于

点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）. （I ）若动点M 满足

0||2=+?，求点M 的轨迹C ；

（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不

同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

24．设.2)(,ln )(),(2)(--==--

=e

p

qe e g x x f x f x q px x g 且其中（e 为自然对数的底数）

（I ）求p 与q 的关系； （II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，

C

B

A

3

求p 的取值范围；

（III ）证明： ①)1()1(->≤+x x

x f ；

②)1(412ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n n

n （n ∈N ，n ≥2）.

25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =

--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设021n

n

S b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11

11n n n c a a +=

++-，数列{}n c 的前n 项和为T n ，求证：1

23

n T n >-．

26、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()

f x 的不动点．如果函数2()(,*)x a

f x b c N bx c

+=

∈-有且仅有两个不动点0、2，且1

(2)2

f -<-

． （Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）已知各项不为零的数列{}n a 满足1

4(

)1

n n

S f a = ，求证：1111ln n n

n a n a ++-

<<-； （Ⅲ）设1

n n

b a =-

，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<．

27、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x - y ） =

f (x )·f (y )＋1

f (y )－f (x )

成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 <

x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；

（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．

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