百例高考数学压轴题精编精解(2)

28、已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点

M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=

，0RP PM ?= .（Ⅰ）⑴当点P 在

y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使AB AN λ=

，且16

3

AB ||=

29、已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x

轴上，离心率为

3

间的距离为6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C .

（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）求证：CF FB λ=

(λ∈R )；（Ⅲ）求MBC

?面积S 的最大值.

30、已知抛物线2

:ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜

率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，

y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0.

（I ）求抛物线C 的焦点坐标； （II ）若点M 满足=，求点

M 的轨迹方程.

31．设函数321()()3

f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点

(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．（Ⅰ）

求证：01b

a

<≤

；（Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；（Ⅲ）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒

有1()0f x a -+<，试求k 的最小值．

32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A 所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线的概率为01.，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）

33．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22

22

162x y m m

+=(0)m >的左，右焦点． （1）当P C ∈，且210PF PF =

，12||||8PF PF ?=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ．

（2）1F 、2F 是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知2F 的半径是1，

过动点Q 的作2F 切线QM ，

使得1QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．

34．已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．

（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设3(3)n n n n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *

∈恒成立，求m 的取值范

35．已知集合{}121212()00D x x x x x x k =>>+=，

，，（其中k 为正常

数）．

（1）设12u x x =，求u 的取值范围； （2）求证：当1k ≥时不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立；

（3）求使不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的2

k 的范围．

36、已知椭圆C ：22a

x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36

，过右焦点F

且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。（1）求

直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ；

（2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：

4

＝cos θ＋sin θOB 成立。

37、已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

（1）求曲线

C

的方程；

（2）过点

.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线

①当m 求直线时,1=λ的方程；②当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值。

38、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （1）求数列}{n a 的通项公式． （2）若n k n a b n 2=，求数列}

{n b 的前n 项和n T ．

（3）设},2{},,{*

*∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列

}{n c 的任一项R Q c n ?∈，其中1c 是R Q ?中的最小数，11511010<

39、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1

23,22

a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*2,n n N ≥∈. (1)求数列{}n a 的通

项公式n a ；(2)计算lim n n n

S n

a →∞-的值. ( 文) 求 n S .

40、函数)(x f 对任意x ∈R 都有f(x)＋f(1－x)＝1

2

. （1）求

))(1()1()21(N n n

n f n f f ∈-+和的值； （2）数列

}

{),1()1

()2()1()0(}{n n n a f n

n f n f n f f a a 求数列满足+-++++= 的通项公式。

（3）令n

S b b b b T a b n n n n n 16

32,,1

442

232221-

=++++=-=

试比较T n 与S n 的大小。

41．已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。

（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；

（3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。

42．已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1。

（1）求抛物线C 的方程； （2）若过焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，M 在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN 的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题． 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥

的体积”．求出体积163

后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底

面边长为4，体积为163

，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163

，

求所有侧面面积之和的最小值”．

现有正确命题：过点(,0)2

p

A -

的直线交抛物线C ：22(0)y px p =>于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过焦点F 。 试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

43．已知函数f(x)=

52168x

x

+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．

(I)写出2a ，3a 的值; (Ⅱ)试比较n a 与5

4

的大小，并说明理由；

(Ⅲ)设数列{}n b 满足n b =5

4－n a ，记S n =1

n

i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n

＜

14

(2n

－1)．

44．已知函数f(x)=x 3

－3ax(a ∈R)． (I)当a=l 时，求f(x)的极小值； (Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m ∈R 都不是曲线y=f(x)的切线，求a 的取值范围；

(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x ∈[－l ，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．

45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中

),(),,(n n n n b n B a n A

)0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在方向向量为（1，6）的

线上.,11a b a a -== （1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ；

（2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。

46．已知2||||),0,2(),0,2(2121=--PF PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；

（2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点. （i ）无论直线l 绕点

F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求

实数m 的值.

（ii ）过P 、Q 作直线2

1

=

x 的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记|

|||||AB QB PA +=

λ，求λ的取值范围.

47．设x 1、)0()()(223212>-+=≠a x a bx ax x f x x x 是函数 的两个极值点. （1）若2,121=-=x x ，求函数f (x )的解析式； （2）若

b x x 求,22||||21=+的最大值；

（3）若)()()(,,1221x x a x f x g a x x x x --'==<<函数且，求证：

.)23(12

1

|)(|2+≤

a a x g 48．已知}{),10(log )(n a a a x x f <<=，若数列{a n }

*)(42),(,),(),(),(,2321N n n a f a f a f a f n ∈+ 使得成等差数列.

（1）求{a n }的通项a n ;

（2）设),(n n n a f a b ?= 若{b n }的前n 项和是S n ，且

.312:,1122

4

224<-+<-+a

na S a a n n 求证 49．点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:22

22=-b

y a x E )0,0(>>b a 上，已

知21PF PF ⊥，||2||21PF PF =，O 为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心

5

B

C

B

O 率e ；

（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且

4

27

21-

=?OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程； （Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且QN MQ λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使)(21GN GM F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

50.已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线

9:+=kx y m ，又0)1(=-'f ． （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是

)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由．

（Ⅲ）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围．

51．已

知二次函数

),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对

任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当∈x （1，3）时，有2)2(8

1

)(+≤

x x f 成立。 （1）证明：2)2(=f 。

（2）若)(,0)2(x f f =-的表达式。

（3）设x m

x f x g 2

)()(-= ),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直

线4

1

=y 的上方，求实数m 的取值范围。

52．（1）数列{a n }和{b n }满足)(1

21n n b b b n

a +++=

（n=1，2，3…），求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。（8分） （2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差

数列的充分必要条件，需说明理由。[提示：设数列{b n }为

)3,2,1(2 =-=+n a a b n n n

53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为

21，乙赢的概率为3

1

，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2=n a 、1=n a 、0=n a ,51,*

≤≤∈n N n 令n n a a a S +++= 21.

(Ⅰ)求53=S 的概率；（Ⅱ）若随机变量ξ满足7=ξS （ξ表示局数），求ξ的分布列和期望.

54．如图，已知直线l 与抛物线y x 42

=相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) .（I ）

若动点

M 满足0=+?，求点M 的轨迹C ； （II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E

在B 、F 之间），试求?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围.

55,已知A 、B 是椭圆

)0(12

22

2>>=+b a b y a x 的一条弦，M (2，1)是AB 中点，

以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N (4，—1). (1)设双曲线的离心率e ，试将e 表示为椭圆的半长轴长的函数. (2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程. (3)求出椭圆长轴长的取值范围.

56已知：)1,(,}{,14)(12

+-+-=n n n n n a a P S n a x

x f 点项和为的前数列在曲线

.0,1),()(1*>=∈=n a a N n x f y 且上

（1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足

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