百例高考数学压轴题精编精解(9)

对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式μλ+=成立，而122=+μλ

在直角坐标系y o x --中，取点P （μλ,），设以x 轴正半轴为始边，以射线OP 为终边的角为θ，显然 θμθλsin ,cos ==。也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在角θ（θ∈R ）使等式：＝cos θ＋

sin θ成立。

37、（1）解法一：设1|2|||),,(-+=y MF y x M 则由题设得，

…………1分

即1|2|)1(2

2-+=-+y y x

当y

x y y x y 4,1)1(,2222=+=-+-≥化简得时；

…………3分

当,

3)1(,222--=-+-

…………4分

化简得3882-<+=y y x 与不合 故

点

M

的

轨

迹

C

的

方

程

是

y

x 42=

…………5分

（1）解法二：2:)0,1(-=y l F M 的距离比它到直线到点点 的距离小于1，

∴点M 在直线l 的上方，

点M 到F （1，0）的距离与它到直线1:-='y l 的距离相等

…………3分

为准线的抛物线为焦点是以的轨迹点l F C M '∴, 所

以

曲

线

C

的

方

程

为

y

x 42=

…………5分 （2）当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，

设直线m 的方程为)22(),2(2k kx y x k y -+=-=-即， 代入

)1(84422=-+-=k kx x y x 得 （☆）

21

…………6分

m R k k k 直线所以恒成立对,,0)22(162∈>+-=?与曲线C 恒有

两个不同的交点

设交点A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， 则)

1(8,42121-==+k x x k x x

…………7分

①由的中点是弦得点且AB P 1,==λλ，

1,44,421=-∴===+∴y x m k k x x 的方程是直线得则

…………9分

②

)

22)(1(4]4))[(1()()(||22122122212212+-+=-++=-+-=k k k x x x x k y y x x AB

点O 到直线m 的距离2

1|22|k k d +-=

，

242)1()1(422|1|4||2

1

-+-=+--=?=

∴?k k k k k d AB S ABO …………10分

24)1()1(4,2424=-+-∴=?k k S ABO ，

2)1(1)1(,02)1()1(2224-=-=-=--+-∴k k k k 或（舍去）

2

0==∴k k 或

…………12分

当,0时=k 方程（☆）的解为22±

若2231

22222,22,2221-=---=

-==λ则x x

若2

232

22222,22,2221+=-+=

=-=λ则x x

…………13分

当,2时=k 方程（☆）的解为224± 若2232

22222,224,22421+=---=

-=+=λ则x x

若2

232

22222,224,22421-=++-=

+=-=λ则x x

…………14分

所以，223223-=+=λλ或

38、解：（1） 点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2

+=的图像上，

∴2*2()n S n n n N =+∈,

当n 2≥时，12 1.n n n a S S n -=-=+

当ｎ＝1时，113a S ==满足上式，所以数列}{n a 的通项公式为

2 1.n a n =+…….3分

（2）由x x x f 2)(2

+=求导可得()22f x x =+‘

过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ，22n k n ∴=+.

24(21)4n k n n n b a n ∴=?+?＝.

12343445447421)4n n ∴=??+??+??+????+?n T +4（①

由

①

34

，得

2

3

4443445n n +

=

??+??

n T +4（② ①-②得：

()231

343424421)4n n n +??-=?+?++???+???

n T +4-（

2

1141434221)414n n n -+??-=?+?+???

-??

（4）-（

26116

499

n n ++∴=

?-n T ………..7分 （

3

）{22,},{42,}

Q x x n n N R x x n n N **==+∈==+∈ ,

Q R R ∴?=.

又n c Q R ∈? ，其中1c 是R Q ?中的最小数，16c ∴=.

{}n c 是公差是4的倍数，*1046()c m m N ∴=+∈.

又10110115c << ，*

11046115

m m N <+

设等差数列的公差为d ，则1011146

121019

c c

d ---＝

＝＝，

6(1)12126n c n n ∴=++?=-，所以

{}

n c 的通项公式为

126n c n =-…………12分

39、解：① 113210n n n S S S +--++=?112()1n n n n S S S S +--=--

?

121(n n a a n +=-≥

---------2分 又

123

,2

2

a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈?112(1)n n a a +-=-（*n N ∈）

∴数列{}1n a -是公比为2，首项为11

12

a -=的等比数列

----------- 4分

12

1

1222

n n n a ---=?=

-------------- 6分

②12...n n S a a a =+++()()()()

1012212121...21n --=++++++++

②12...n n S a a a =+++

()(

)()

()

1012212121...21n --=++++++++ (

)

10

12

222 (2)

n n --=++++ 21

2

n n -=

+ -------------（9分）

于是111212lim lim lim 212

2222n

n n n x x x n n

S n a -→∞→∞→∞-

--===++ ---------------（12分）

40、解：（1）令4

1)21(21==

f x 的 令)1

(

)1(21)11()1(1n

n f n f n f n f n x -+==-+=得 （2）)1()1

(

)1()0(f n n f n f f a n +-+++= 又)0()1

()1()1(f n

f n n f f a n +++-+= ，两式相加

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