2010届高考复习资料：高中数学基础知识汇总

2013届高三数学资料

高中新课标数学基础知识汇总

第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？．．．．．还是曲线上的点？… ；

2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽．．．．象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n?1；非空真子集的数为2n?2； （2）A?B?A?B?A?A?B?B; 注意：讨论的时候不要遗忘了A??的情况； （3）a?A,a?A;B?A,B?A；

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第二部分 函数与导数

1．映射：非空数集A到非空数集B的一个对应；

注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数的三要素：解析式、定义域、值域；

函数解析式的求法:待定系数法、换元法、代入法求表达式； 函数定义域的求法：求函数解析式有意义时自变量的取值范围。

（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数函数的真数大于零； （4）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； （5）tan??x???中，?x???k???2,k?Z，

函数值域的求法（最值）：①分析法 ；②配方法 ；③利用函数单调性（导数法）；④基本函数的值域 ； ⑤利用均值不等式 ab?3．复合函数的有关问题

复合函数单调性的判定：①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数

a?b⑥利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）； ,(a?0,b?0)；

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y?f(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原

函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数y?f(u)的定义域是内函数u?g(x)的值域。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．⑵f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1(f(x)?0)； f(x)⑶f(x)是偶函数?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)?1(f(x)?0)； f(x)⑷奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)?0；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：f(x)在区间M上是增（减）函数??x1,x2?M,当x1?x2时

f(x1)?f(x2)?0(?0)?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0(?0)?f(x1)?f(x2)?0(?0)；

x1?x2⑵判定函数单调性的定义法：注意：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式， 以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期

①y?sinx:T?2? ；②y?cosx:T?2? ；③y?tanx:T??；

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④y?Asin(?x??),y?Acos(?x??):T??2? ；⑤y?tan?x:T?；

|?||?|⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论：①f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0) ?f(x)的周期为2a；②

y?f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称?f(x)周期T?2a?b；③y?f(x)的图象关于直线x?a,x?b轴对称?f(x)周期为T?2a?b；

④y?f(x)的图象关于点(a,0)中心对称，直线x?b轴对称?f(x)周期T?4a?b； 8．基本初等函数

⑴幂函数：y?x （??R) ；⑵指数函数：y?a(a?0,a?1)； ⑶对数函数:y?logax(a?0,a?1)；⑷正弦函数:y?sinx；

⑸余弦函数：y?cosx ；（6）正切函数：y?tanx；⑺二次函数：f(x)?ax?bx?c(a?0)； ⑻其它常用函数：①正比例函数：y?kx(k?0)；②反比例函数：y?③函数y?x?2?xk1(k?0)；特别的y?， xxa(a?0)； x29．二次函数：⑴解析式：①一般式：f(x)?ax?bx?c；

②顶点式：f(x)?a(x?h)?k，(h,k)为顶点；③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) 。（其中a?0） ⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

⑷三个“二次”之间的关系：①利用图像记住不等式的解集；②利用二次函数解决方程根的分布： 10．函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰy?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)———左“+”右“-”； ⅱy?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)———上“+”下“-”；

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② 伸缩变换：

ⅰy?f(x)?y?f(?x)， （??0)———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的

1倍； ?ⅱy?f(x)?y?Af(x)， （A?0)———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍； ③ 对称变换：ⅰy?f(x)????y??f(?x)；ⅱy?f(x)????y??f(x)；

ⅲ y?f(x)????y?f(?x)；

ⅳy?a,(a?0且a?1)????y?logax,(a?0且a?1)；

④ 翻转变换：ⅰy?f(x)?y?f(|x|)———右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）； ⅱy?f(x)?y?|f(x)|———上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数y?f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在y?g(x)的图象上，反之亦然；

注：①曲线C:F(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线C:F(2a?x,2b?y)?0； ②曲线C:F(x,y)?0关于直线x?a的对称曲线C:F(2a?x,y)?0； ③曲线C:F(x,y)?0关于直线y?x?a的对称曲线C:F(y?a,x?a)?0 曲线C:F(x,y)?0关于y??x?a的对称曲线C:F(?y?a,?x?a)?0 12．函数零点的求法：⑴直接法（求f(x)?0的根）；⑵图象法；⑶二分法. 13．导数 ⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作

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