15届中环杯四年级决赛解析(6)

【解答】ABCD AB CD 100AB CD AB CD AB 1 CD 100 100，从而推出

AB 1 CD 100 100 mod1111 ，所以 AB 1 CD 100 1211、2322、3433、

（1）当 AB 1 CD 100 1211时，此时AB 1

12111211

12.11，所以100CD 100

AB 11，所以AB 11或10，但是这两个数显然不是1211的因数；

（2）当 AB 1 CD 100 2322时，考虑到2322 2 33 43，所以2322 18 129，此

AB 1 18

时 ABCD 1729。 CD 100 129

接下来我们要证明1729已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在ABCD 1729，满足 AB 1 CD 100 1111k 100，此时AB 10~16，所以

AB 1 CD 100 16 1 99 100 3383。当k 3时，此时1111k 100已经大于

3383了，所以k 2。而对于k 2的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在

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