2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案(人教A版必修4)

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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

学习目标

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

重点、难点

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

自主学习

1．向量的数乘

(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

(2)规定：|λa|＝|λ||a|.当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝________.

(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则

(1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(________)a；(3)λ(a＋b)＝__________(分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝__________. 3．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________. 4．共线向量定理

(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得__________． (2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝

0.

→→→

已知平面内O，A，B，C四点，若OC＝xOA＋yOB，(x，y∈R)． (1)若x＋y＝1，求证A、B、C三点共线；

(2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？

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