高中数学必修二全册教案

第一课时柱、锥、台、球的结构特征

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.

2．过程与方法

（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.

3．情感、态度与价值观

（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.

（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.

（二）教学重点、难点

重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.

（三）教学方法

通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考空间几何体的结构特征，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.

.

围上研究过那些？

．有两个面互相平行；

形；

.

.棱柱底面的有几对？

解析：略一个几何体是不是棱柱？

.

.

棱锥的结构特征：

.

1．观察下面这个几何体

．能否将轴改为斜边？

备用例题

例1 下列命题中错误的是（ ）

A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个

C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆

D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

【解析】圆锥的母线长相长，设为l ，若圆锥截面三角形顶角为α，圆锥轴截面三角形顶角为θ，则0＜α≤θ. 当θ≤90°时，截面面积S = αsin 212l ≤θsin 2

1

2l . 当90°＜θ＜180°时.截面面积S ≤222

1

90sin 21l l =??，故选B.

例2 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.

（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；

（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.

【分析】要判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的结构特征.

【解析】（1）如图1，该几何体满足有两个面平行，其余

六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故

该几何体是六棱柱.

（2）如图2，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台.

点评：对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分割，再根据圆柱、圆 锥、圆台的结构特征进行判断.

例3 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm ，求圆锥的母线长.

【分析】 画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解.

【解析】 设圆锥的母线长为y cm ，圆台上、下底面半径分别是x cm 、

4x cm.作圆锥的轴截面如图. 在R t △SOA 中，O′A′∥OA ，∴SA ′∶SA=

O′A′∶OA ，即（y -10）∶y=x ∶4x . ∴y =133

1. ∴圆锥的母线长为133

1cm 【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.

第二课时 简单组合体的结构特征

图2

图1

图4—1—8

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征.

（2）能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型.

2．过程与方法

让学生通过下观感觉空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式.

3．情感态度与价值观

培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识.

（二）重点、难点

重点与难点都是认识简单组体体的结构特征.

（三）教学方法

概念形成过程中，学生观察、思考、讨论、交流与教师引导相结合，然后通过对一些具体问题的讨论，加深对简单组合体的结构特征的理解.

一、知识点

备选例题

例1 左下图是由右下图中的哪个平面图旋转得到的

【解析】因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥，因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.

【点评】组合体通过分拆，可转化为几个简单几何体，从而研究其结构特征.

第一课时空间几何体的三视图

一、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握画三视图的基本技能

（2）丰富学生的空间想象力

2．过程与方法

主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

图4—1—9

3．情感、态度与价值观

（1）提高学生空间想象力

（2）体会三视图的作用

二、教学重点、难点

重点：画出简单组合体的三视图

难点：识别三视图所表示的空间几何体

三、教学方法

教师讲授与学生观察、讨论、动手实践相结合.

.

.

.

中心投影与平行投影

.

.

图：

正投影……

备用例题

例1 画出下列空间几何体的三视图．

如图是截去一角的长方体，画出它的三视图.

【解析】物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图为图2.

例2 由5个小立方块搭成的几何体，其三视图分别如下，请画出这个的几何体

（正视图） (俯视图) （右视图） 【解析】先画出几何体的正面，再侧面，然后结合俯视图完成几

何体的轮廓，如图.

【评析】画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来，绘制三视图. 就是由客观存在的几何物体，从观察的角度，得到反应出物体形象的几何学知识.

例3 某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，问：

（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？

（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状.

【解析】（1）由主视图与左视图可知，该楼有3层. 由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间.

（2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间.

楼房大致形状如右图所示.

【评析】根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力. 由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致. 依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面. 在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件进行加工制作.

第二课时空间几何体的直观图

（一）数学目标

1．知识与技能

（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.

（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.

2．过程与方法

学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.

3．情感态度与价值观

（1）提高空间想象力与直观感受.

（2）体会对比在学习中的作用.

（3）感受几何作图在生产活动中的应用.

（二）教学重点、难点

重点、难点：用斜二测面法画空间几何值的直观图.

（三）教学方法

在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤.

学生观察、思考、归纳

探索新知

②画平行线段，截取长度

师：有哪些注意事项

.

斜二测画法基本步骤

）在已知图形中取互相垂

.

.

.

.

④成图

师：有什么注意事项吗？

.

．简单组合体画法

.

.

.

.

画轴的下底面.

备用例题

例1 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.

【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图.

【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴F A 为y轴，对点O与y轴垂直的是x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H. 画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′ = 45°.

（2）如图2所示：以点O′为中点，在x′轴上取G′H′= GH，分别过G′、H′，在x′轴的

上方，作G′B′∥y′轴，使G′B′ =1

2

GB；作H′E′∥y′轴，使H′E′ =

1

2

HE；在y′轴的点O′上方取

O′A′ =1

2

OA，在点O′下方取O′F′ =

1

2

OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′= CD.

（3）连结A′B′、B′C′、D′E′、E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.

1 2 3

【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点.

例2 已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm. 用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.

【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.

【解析】（1）画轴. 以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.

（2）画下底面. 以O 为中点，在x 轴上取线段EF ，使得EF = AB = 6cm ，在y 轴上取

线段GH ，使得GH =12

AB ，再过G 、H 分别作AB EF ，CD EF ，且使得CD 的中点为H ，AB 的中点为G ，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图.

（3）画上底面. 在z 轴上截取线段OO 1 = 4cm ，过O 1点作O 1x ′∥Ox 、O 1y ′∥Oy ，使∠x ′O 1y ′ = 45°，建立坐标系x ′O 1y ′，在x ′O 1y ′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A 1B 1C 1D 1

.

（3）再连结AA 1、BB 1、CC 1、DD 1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图2）.

【评析】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解.

例3 如右图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直

观图. 若A 1D 1∥O 1y ，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1 =23

C 1

D 1 = 2，A 1D 1 = O ′D 1 = 1. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.

【解析】如图，建立直角坐标系xoy ，在x 轴上截取OD =O ′D 1=1，

OC =O ′C 1=2.

在过点D 的y 轴的平行线上截取DA =2D 1A 1=2.

在过点A 的x 轴的平行线上截取AB =A 1B 1 = 2.

连接BC ，即得到了原图形.

由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB = 2，CD = 3，直∥ ＝ ∥ ＝

角腰长度为AD = 2.

所以面积为

23

2

2

S

+

=?= 5.

【评析】给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力. 画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的为垂直.

第一课时柱体、锥体、台体的表面积

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.

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