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正多边形和圆

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正多边形和圆

【教学目标】

1 ?知识与技能:

了解正多边形和圆的关系,了解正多边形半径和边长,边心距,中心,中心角等概念。 会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题。会用圆规、量角器和直尺来画圆内接正多 边形。

2. 过程与方法:

结合生活中的正多边形形状的图案,发现正多边形和圆的关系,然后学会用圆的有关知 识,解决正多边形的问题。

3. 情感态度:

学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活、又服务于生活,体现 事物之间是相互联系,相互作用的。

【教学重点】

正多边形与圆的相关概念及其之间的运算。

【教学难点】

探索正多边形和圆的关系,正多边形半径,中心角、弦心距,边长之间的关系。

【教学过程】

、情境导入,初步认识。

观察这些美丽的图案,都是在日常生活中,我们经常能看到的利用正多边形得到的物

(1) 你能从图案中找出多边形吗?

(2) 你知道正多边形和圆有什么关系吗?怎样就能作出一个正多边形来?

教学说明:学生通过观察美丽的图案,欣赏生活中正多边形形状的物体。让学生感受到 数学来源于生活,并从中感受到数学美。问题(2)的提出是为了创设一个问题情境,激起学 生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来,激发学生积极探索、研究的热情,并有意将注 意力集中在正多边形和圆的关系上。 二、思考探究,获取新知。

1. 正多边形和圆的关系。

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问题1将一个圆分成5等份,依次连接各分点得到一个五边形,这五边形一定是正五边 形吗?如果是,请你证明这个结论。

教师引导学生根据题意画图,并写出已知和求证。

已知:如图,在。O中,A,B,C, D, E是。O的五等分点。依次连接 ABCD形成五边 形。 问:五边形ABCD是正五边形吗? 答案:五边形 ABCD是正五边形。

教学说明:教师引导学生从正多边形的定义入手证明,即证明多边形各边都相等,各角 都相等;引导学生观察、分析,教师带领学生完成证明过程。

问题2如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个 n边形,这个n边形一定是正n边形 吗? 答案:这个n边形一定是正n边形。

教学说明:在这个问题中,教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证 明圆内接正

n边形。从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般,这符合学生的认知规 律,并教导学生一种研究

问题的方法,由特殊到一般。

问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形是正多边形 吗?如果是,说明理由;如果不是,举出反例。

答案:各边相等的圆内接多边形是正多边形。因为:各边相等的圆内接多边形的各角也 相等。各角相等的圆内接多边形不是正多边形。如:矩形。

2. 正多边形的有关概念。

综合图形,给出正多边形的中心,半径,中心角,边心距等概念。 正n边形:中心角为:360° n;内角的度数为:180°( n-2) n

3. 正多边形和圆有关的计算冋题。

例1 (课本例题)有一个亭子,它的地基是半径为 4m的正六边形,求地基的周长和面积 (结果保留小数点后一位)。

分析:根据题意作图,将实际问题转化为数学问题。

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画正多边形,通常是通过等分圆周的方法来画的。等分圆周有两种方式:

(1)用量角器等分圆周

D

(1)

方法一:由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等,因此作相等的圆心角可以等分 圆。 方法二:先用量角器画一个等于360的圆心角,这个圆心角所对的弧就是圆的 1,然后

n 在圆上依次截取这条弧的等弧,就得到圆的几等分点。

教学说明:这两种方法可以任意等分圆,但不可避免地存在误差。 (2)用尺规等分圆。

正方形的作法:如图(1)在。O中,尺规作两条垂直的直径,把。0四等分,从而作出 正方形

n

ABCD再逐次平分各边所对弧,则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多 边形。

正六边形的作法:方法一:如图(2)任意作一条直径AB再分别以A,B为圆心,以。 0的半径为半径作弧,与。0交于C D和E、F,则A, C, E, B, F,D为。0的六等分点,顺 次连接各等分点,得到正六边形 ACEBFD

方法二:如图(3)由于正六边形的半径等于边长。所以在圆上依次截取等于半径的弦, 就将圆六等分,顺次连接各等分点即可得到正六边形。 三、运用新知,深化理解。

1 ?如图,圆内接正五边形 ABCDE对角线AC与BD相交于点P,则/ APB的度数 为

2?边长为2的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为

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