[状元桥]2016届高三数学（文）二轮复习教师用书：专题十一 空间点、直线、平面之间的位置关系

所以HM∥BD.

又HM?平面FGH，BD?平面FGH， 所以BD∥平面FGH.

(方法2)在三棱台DEF－ABC中， 由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF.

所以四边形HBEF为平行四边形， 可得BE∥HF.

在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，

所以平面FGH∥平面ABED.

因为BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH. (2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点． 所以GH∥AB.

由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H为BC的中点， 所以EF∥HC，EF＝HC， 因此四边形EFCH是平行四边形．

所以CF∥HE.

又CF⊥BC，所以HE⊥BC.

又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H， 所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD， 所以平面BCD⊥平面EGH.

14．(2015·重庆卷)如图，三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面π

ABC，∠ABC＝2，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.

(1)证明：AB⊥平面PFE；

(2)若四棱锥P－DFBC的体积为7，求线段BC的长．

解析：(1)证明：如图，由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC.

又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PE?平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.

π

因∠ABC＝2，EF∥BC，所以AB⊥EF.

从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PFE.

(2)设BC＝x，则在直角△ABC中， AB＝AC2－BC2＝36－x2， 11

从而S△ABC＝2AB·BC＝2x36－x2.

AFAE2

由EF∥BC知，AB＝AC＝3，得△AFE∽△ABC， S△AFE?2?244故＝?3?＝9，即S△AFE＝9S△ABC. S△ABC??1

由AD＝2AE，

1142

S△AFD＝2S△AFE＝2·9·S△ABC＝9S△ABC 1

＝9x36－x2，

11

从而四边形DFBC的面积为SDFBC＝S△ABC－S△AFD＝2x36－x2－97

x36－x＝18x·36－x2.

2由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P－DFBC的高． 在Rt△PEC中，

PE＝PC2－EC2＝42－22＝23. 1

体积VP－DFBC＝3·SDFBC·PE

17

＝3·18x·36－x2·23＝7，

故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27， 由于x>0，可得x＝3或x＝33， 所以，BC＝3或BC＝33.

15．(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

(1)证明：平面AEC⊥平面BED；

6(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为3，求该三棱锥的侧面积．

解析：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE. 故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED. (2)设AB＝x，在菱形ABCD中， 由∠ABC＝120°，

3x

可得AG＝GC＝2x，GB＝GD＝2.

3

因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝2x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，