整式乘法中的数学思想

整式乘法中的数学思想

数学思想方法是数学问题的灵魂，求解决数学问题的金钥匙，整式的乘法运算也不例外. 整式的乘法运算运算中常见的数学思想方法有以下几种：

一、转化思想 在整式运算中，多项式乘法是化归为多项式乘以单项式来完成的，多项式乘以单项式又化归为单项式乘以单项式来完成的，而单项式乘以单项式又化归为同底数幂的运算来完成的.

例1 化简：(3x+2)(x－1)+3(x－1)(x+1).

分析： 根据多项式乘以多项式的法则，将原式展开后化归为单项式乘以单项式，最后化归到同底数幂相乘，从而获解.

解： (3x+2)(x－1)－3(x－1)(x+1)＝3x2－3x+2x－2－3x2－3x+3x+3 ＝－x+1. 评注： 本题在运用化归思想运算的过程中省略了一些步骤，不过一定要注意避免因为“－”号可能给化简带来的错误.

二、整体思想

例2 以知3a+2b=2，ab=5，求

2 ab [（3a+2b）2+a2b2]的值． 3分析：此题没有告诉ab的具体值，所以必须把原式化为 只含3a+2b和ab的式子，即把3a+2b和ab分别看作一个整体．

2223

ab·（3a+2b）+（ab） 33402502把3a+2b=2，ab=5代入，则原式=+=96．

333解：原式=

评注：本题既运用了整体思想进行化简，又运用了整体代入求值.

三、数形结合思想

例3、如下图1，边长为a的大正方形中一个边长为b的a a 小正方形，小明将图1的阴影部分拼成了一个长方形，如图2．这一过程用下式表示正确的是( )

b b A、a2+b2-2ab=(a-b)2 B、a2+b2+2ab=(a+b)2

C、2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b) D、a2-b2=(a+b) (a-b) 图１ 图２

分析：关键是计算出两个图形中的阴影部分的面积，根据

面积相等就可得到正确结果．

解：图1中阴影部分的面积是一个边长为a的正方形和边长为b的正方形的面积之差，即阴影部分的面积为a2-b2，图2中阴影部分是一个以分别以(a+b)， (a-b)为边长的长方形，面积为(a+b) (a-b)，所以选D．

评注：本题通过简单的几何拼图渗透数形结合思想，考查了同学们的观察能力、分析研究的能力．

四、分类讨论思想

例4、在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是----．

分析：对于任意两个一次二项式相乘，最多可以有四项，如（a+b）（c+d）；还可以是三项，如（x+1）（x+3）；还可以是两项，如（x-2）（x+2）．

解：两项或三项或四项．

评注：本题是一道开放型探究题，结论有多个，需要进行分类讨论．