2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.7解三角形应用举例课后作业理

DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130， EF＝

BE－FC2

＋BC＝90＋120＝150.

222

在△DEF中，由余弦定理，得

DE2＋EF2－DF2

cos∠DEF＝ 2DE×EF130＋150－10×29816＝＝. 2×130×15065

14．(2017·尖山区期中)设甲、乙两楼相距10 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的仰角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．

40答案 103 m，3 m

3

解析 设甲，乙两楼为AB，CD，由题意可知BC＝10，∠ACB＝60°，∠DAE＝30°，

2

2

2

∵tan∠ACB＝＝3， ∴AB＝103， 由AE＝BC＝10， tan∠DAE＝＝103∴DE＝，

3

403

∴CD＝CE＋DE＝AB＋DE＝.

3三、解答题

15．(2018·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，

ABBCDEAE3， 3

D)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测

得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．

(1)求B，C两救援中心间的距离； (2)求D救援中心与着陆点A间的距离．

解 (1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形． 在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝2

2

3

，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝3

30

万米． 3

30°，解得AB＝3，又∠CAB＝90°，BC＝AC＋AB＝

(2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝

cos∠ACD＝－

110

，又∠CAD＝30°，

310，

33－1

所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝，

210在△ADC中，由正弦定理，＝，

sin∠ADCsin∠ACD得AD＝

ACADAC·sin∠ACD9＋3

＝万米．

sin∠ADC13

16．(2018·南昌模拟)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.

(1)求AB的长度；

(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计

使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)

解 (1)在△ABC中，由余弦定理，得

AC2＋BC2－AB282＋52－AB2

cosC＝＝.

2AC·BC2×8×5

在△ABD中，由余弦定理，得

AD2＋BD2－AB272＋72－AB2

cosD＝＝.

2AD·BD2×7×7

由∠C＝∠D，得cosC＝cosD. ∴AB＝7，∴AB长为7米．

(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：

1212

S△ABD＝AD·BD·sinD， S△ABC＝AC·BC·sinC.

∵AD·BD>AC·BC，∴S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC建造环境标志费用较低．

1

∵AD＝BD＝AB＝7，∴△ABD是等边三角形，∠D＝60°，∴S△ABC＝AC·BCsinC＝103＝

210×1.732＝17.32.

∴总造价为5000×17.32＝86600(元)．