向量组的线性相关性

线性相关性

一、填空题

例设向量组?1?(1,2,1)T,?2?(2,3,1)T,?3?(x,3,1)T,?4?(2,y,3)T,的秩为2，则x? 2 ，y? 5 ．

例已知向量组?1??1,2,?1?，?2??2,0,t?，?3??0,?4,5?线性相关，则t? 3 ． 例若向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,3,4)T,?3?(3,4,t)T线性相关，则t?5．

TTT二、 选择题

例设矩阵A、B、C均为n阶方阵，若AB?C，且B可逆，以下正确的是【Ｂ】．

(A) 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价； （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价； （C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价； （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

?1??0??0???1?????????例?1??0?,?2??1?,?3???1?,?4??1?，其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相

?C??C??C??C??1??2??4??3?关的为（ C ）

（A） ?1,?2,?3；（B）?1,?2,?4; (C)

?1,?3,?4; (D) ?2,?3,?4.

例设a1,a2,?,as均为n维列向量，下列选项不正确的是【B】．

（A）对于任意一组不全为0的数k1,k2,?,ks都有k1a1,?k2a2???ksas?0，则a1,a2,?,as线性无关；

（B）若a1,a2,?,as线性相关，则对于任意一组不全为0数k1,k2,?,ks都有

k1a1,?k2a2???ksas?0；

（C）a1,a2,?,as线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s； (D）若a1,a2,?,as线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 例设a1,a2,?,as均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是【A】．

（A）若a1,a2,?,as线性相关，则Aa1,Aa2,?,Aas线性相关； （B）若a1,a2,?,as线性相关，则Aa1,Aa2,?,Aas线性无关；

1

（C）若a1,a2,?,as线性无关，则Aa1,Aa2,?,Aas线性相关； （D）若a1,a2,?,as线性无关，则Aa1,Aa2,?,Aas线性无关．

例设A是4阶矩阵，且A的行列式A?0，则A中【(C) 】．

(A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例；

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任意列向量是其余列向量的线性组合．

??1???2??a??1?????????2. 设有向量组A:?1??1?,?2??1?,?3??2?，及向量???b?，问a,b为何值时

?4??5??10???1?????????(1) 向量?不能由?1,?2,?3线性表示;

(2) 向量?能由?1,?2,?3线性表示，且表示式惟一;

三、解答题．

例（本题满分6分）设?1，?2为方阵A的两个不同特征值，?1,?2为A的相应于?1的两个线性无

关的特征向量，?3,?4为A的相应于?2的两个线性无关的特征向量，证明：向量组?1,?2,?3,?4线性无关。

证明：设k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0，（a）

因为?1,?2为A的相应于?1的两个线性无关的特征向量，?3,?4为A的相应于?2的两个线性无关的特征

向量，有A?1????2????3??3?3,A?4??2?4, 11,A12,A（a）式左右两端同时左乘A可得，?1k1?1??1k2?2??2k3?3??2k4?4?0（b）(a)??1?(b)可得，

(?1??2)k3?3?(?1??2)k4?4?0

又因为?1，?2为方阵A的两个不同特征值，且?3,?4线性无关，可得

k3?k4?0

2

同理(a)??2?(b)可得k1?k2?0

因此向量组?1,?2,?3,?4线性无关。

例1）（6分）设A为3阶矩阵，?1，?2为A的分别属于特征值?1，1的特征向量，向量?3满

足A?3??2??3，证明?1,?2,?3线性无关； 证: 令k1?1?k2?2?k3?3?0，（1）

则k1A?1?k2A?2?k3A?3?0

于是有?k1?1?k2?2?k3(?2??3)?0（2） （1）-（2）得2k1?1?k3?2?0， 由?1，?2线性无关得k1?k3?0， 代入（1）得k2?2?0，由?2?0得k2?0， 故?1,?2,?3线性无关．

例（8分）?1,?2,?,?s是齐次线性方程组Ax?0的基础解系，?满足A??0，证明：

?1??,?2??,??s??,?线性无关．

2. （6分）设n阶方阵A满足：r(A)?r．证明：A可以表示成r个秩为1的矩阵之和． 解：（1）令k1(?1??)?k2(?2??)???ks(?s??)?k??0

整理得k1?1?k2?2???ks?s?(k?k1???ks)??0，

上式两端左乘A得k1A?1?k2A?2???ksA?s?(k?k1???ks)A??0， 则有(k?k1???ks)A??0，由A??0得(k?k1???ks)?0， 于是有k1?1?k2?2???ks?s?0，

由?1,?2,?,?s线性无关得k1?k2???ks?0，从而有k?0， 故?1??,?2??,??s??,?线性无关．

例若向量?1,?2,?3,?4是n元非齐次线性方程组Ax?b的解向量，那么它们的线性组合

k1?1?k2?2?k3?3?k4?4也是该方程组解向量的充分必要条件是k1?k2?k3?k4?1；

3

2 设A是n阶矩阵，?1和?2是A的两个不同的特征值，?1,?2是A的属于特征值?1的两个线性无关的特征向量，?3是A的属于特征值?2的特征向量，证明：?1,?2,?3线性无关． 例1设?1,?2,?,?r为n维空间Rn中的正交向量组，证明：?1,?2,?,?r线性无关.

令k1?1?k2?2???kr?r?0(k1,k2,?,kr?R)，（2分） 用?iT(i?1,2,?,r)左乘上式两端得，

k1?iT?1?k2?iT?2???kr?iT?r?0(k1,k2,?,kr?R)，

由?1,?2,?,?r为n维空间R中的正交向量组知，?iT?j??则有ki?0(i?1,2,?,r). （5分） 因此?1,?2,?,?r线性无关.（6分）

例设?0是非齐次线性方程组Ax?b的一个解,?1,?2,?3是对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解 系,证明:

(1)?0,?1,?2,?3线性无关;

(2) ?0,?1??0,?2??0,?3??0线性无关; 证: (1)令k?0?k1?1?k2?2?k3?3?0,

用A左乘上式两端得,kA?0?k1A?1?k2A?2?k3A?3?0. 则有kA?0?0,由A?0?b?0知,k?0.。 于是有k1?1?k2?2?k3?3?0,

由?1,?2,?3线性无关知,k1?k2?k3?0. 因此?0,?1,?2,?3线性无关.

(2) 令k?0?k1(?1??0)?k2(?2??0),?k3(?3??0)?0, 整理得(k?k1?k2?k3)?0?k1?1?k2?2?k3?3?0 由(1)知?0,?1,?2,?3线性无关,于是得

n?0,i?j，

?1,i?j(k?k1?k2?k3)?0,k1?0,k2?0,k3?0,

4

则有k?k1?k2?k3?0,

因此?0,?1??0,?2??0,?3??0线性无关.

5