【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】537：函数的综合应用．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的关系式，由点B的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的关系式；
（2）观察函数图象，利用两函数图象的上下位置关系，找出使得不等式成立的自变量x的取值范围；
（3）由点A的坐标可得出点C的坐标，设点D的坐标为（c，d），分OC为对角线、OA为对角线、AC为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分可求出a，b的值，进而可得出点D的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，4）代入y＝，得：4＝k， ∴反比例函数的关系式为y＝； 当y＝﹣2时，﹣2＝，解得：m＝﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b，得：解得：
，
，
∴一次函数的关系式为y＝2x+2．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1． （3）∵点A的坐标为（1，4）， ∴点C的坐标为（1，0）．
设点D的坐标为（c，d），分三种情况考虑，如图所示： ①当OC为对角线时，解得：
，
，
∴点D1的坐标为（0，﹣4）；
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②当OA为对角线时，解得：
，
，
∴点D2的坐标为（0，4）； ③当AC为对角线时，解得：
，
，
∴点D3的坐标为（2，4）．
综上所述：以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出两函数的关系式；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集；（3）分OC为对角线、OA为对角线、AC为对角线三种情况，利用平行四边形的性质求出点D的坐标． 26．（14分）小华思考解决如下问题：
原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．
（1）小华进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E、F分别在边BC、CD上，如图2．此时她证明了AE＝AF，请你证明；
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（2）由以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明；
（3）如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，求四边形APCQ的周长的最小值
【考点】LO：四边形综合题．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）根据菱形的性质、结合已知得到AF⊥CD，证明△AEB≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；
（2）由（1）的结论得到∠EAP＝∠FAQ，证明△AEP≌△AFQ，根据全等三角形的性质证明；
（3）四边形APCQ的周长＝AP+PC+CQ+AQ＝2AP+CP+CF+FQ＝2AP+2CF，CF是定值，当AP最小时，四边形APCQ的周长最小，可得结论． 【解答】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B+∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD， ∵∠EAF＝∠B， ∴∠EAF+∠C＝180°， ∴∠AEC+∠AFC＝180°， ∵AE⊥BC， ∴AF⊥CD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF；
（2）证明：如图3，由（1）得，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF， ∴∠EAP＝∠FAQ， 在△AEP和△AFQ中，
，
∴△AEP≌△AFQ（ASA），
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∴AP＝AQ；
（3）解：如图4，连接AC，
∵∠ABC＝60°，BA＝BC＝4， ∴△ABC为等边三角形， ∵AE⊥BC， ∴BE＝EC＝2， 同理，CF＝FD＝2， ∴AE＝
＝2
，
∴四边形APCQ的周长＝AP+PC+CQ+AQ＝2AP+CP+CF+FQ＝2AP+2CF， ∵CF是定值，当AP最小时，四边形APCQ的周长最小，
∴当AP＝AE时，四边形APCQ的周长最小，此时四边形APCQ的周长的最小值＝2×2
+4＝4
+4．
【点评】本题是四边形的综合题，考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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