2014级计算机科学与技术专业“算法设计与分析”大作业题
2015学年~2016学年第2学期
2016年4月18日
总体要求
本次综合大作业（上机实现题目）是为了配合“算法设计与分析”课程的讲授而设置的，目的在于培养学生理论联系实际的问题求解能力。综合大作业题目共两道，两题均要求采用动态规划算法求解。每题50分。以小组为单位检查，自由组合（可跨越班级），每组人数一般不少于3人、但不超过5人。每组提交1份课程报告，检查时每组至少须有1人做成果展示演讲（答辩），在课堂上就题目的设计思想、实现方法的正确性等进行说明，全组成员一起参与答辩，回答教授及同学的提问与质疑。
对于“动态规划”问题，报告中必须对最优值函数和标记函数的含义进行详细说明，列出子问题计算中所使用的有关最优值函数和标记函数的递推关系（一般采用递归式加以描述）和初值（边界条件）。给出所设计算法的时间复杂度分析。
每组自备2、3个相关问题的实例，报告中以实例中的数据描述算法的执行步骤。
一、 广义背包问题
广义背包问题的描述如下：给定载重量为M的背包和n种物品，每种物品有一定的重量和价值，现在需要设计算法，在不超过背包载重量的前提下，巧妙选择物品，使得装入背包的物品的总价值最大化。规则是，每种物品均可装入背包多次或不装入（但不能仅装入物品的一部分）。请用数学语言对上述背包问题加以抽象，在此基础上给出动态规划求解该问题的递归公式。要求对所给公式中的符号意义加以详细说明，并简述算法的求解步骤。用一种你熟悉的程序设计语言加以实现。
二、 在下面A 、B两道题中选取一道感兴趣的题目完成
A、加工顺序问题
“加工顺序问题”又被称为“批处理作业调度问题”。
设有n个工件需要在机器M1和M2上加工，每个工件的加工顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。t1j，t2j分别表示工件j在M1，M2上所需的加工时间（j=1，2，···，n）。问应如何在两机器上安排生产，使得第一个工件从在M1上加工开始到最后一个工件在M2上加工完所需的总加工时间最短？关于此（类）问题的回溯法求解被作为经典案例在很多教材或参考文献中出现，现要求设计求解此问题的动态规划算法。
请用数学语言对“加工顺序问题”加以抽象，在此基础上给出动态规划求解该问题的递归公式。要求对所给公式中的符号意义加以详细说明，并简述算法求解步骤。用一种你熟悉的程序设计语言加以实现。
提示（分析最优解的性质，刻画最优解的结构—最优子结构性质）
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将n个工件的集合看做N={1，2，···，n}，设P是给定n个工件的一个最优加工顺序方案，则 P（i）是该调度方案的第i个要调度的工件（i=1，2，···，n）。先考虑初始状态，第一台机器M1开始加工集合N中的P（1）工件时，第二台机器M2空闲。随着时间的推移，经过t1P（1）的时间，进入一个新的状态：第一台机器M1开始加工集合N-{P（1）}中的P（2）工件时，第二台机器M2开始加工P（1）工件，需要t2P（1）的时间才能空闲。以此类推，可以将每一个状态表示成更一般的形式，即：当第一台机器M1开始加工集合S（SN是N的作业子集）中的工件i时，第二台机器M2需要t时间才能空闲下来。这种状态下，从集合S中的第一个工件开始在机器M1上加工到最后一个工件在机器M2上加工结束时所耗的时间为T（S，t）。设集合S的最优加工顺序中第一个要加工的工件为i，那么，经过t1i的时间，进入的状态为第一台机器M1开始加工集合S-{ i }中的工件时，第二台机器M2需要t‘ 时间才能空闲下来，这种情况下机器M2加工完S-{i}中的工件所需的时间为T（S-{i}，t’）,其中
则 T（S，t）=t1i + T（S-{i}，t2i+max{t-t1i，0}） （2-1） 从式（1-1）可以看出，如果T（S，t）是最小的，那么其包含的子问题
T（S-{i}，t2i+max{t-t1i，0}）肯定也是最小的。即该问题的整体最优一定包含其子问题的最优。
B、TSP问题
所谓TSP问题是指旅行商要去n个城市推销商品，其中每个城市到达且仅到达一次，并且要求所走的路程最短（该问题又称货郎担问题、邮递员问题、售货员问题等）。TSP问题最容易想到、也肯定能得到最优解的算法是穷举法，即考察所有可能的行走线路，从中选出最佳的一条。但是用穷举法求解TSP问题的时间复杂性为O(n!)，属于NP问题。请用数学语言对该TSP问题加以抽象，在此基础上给出动态规划求解该问题的递推公式。要求对所给公式中的符号意义加以详细说明，并简述算法求解步骤。用一种你熟悉的程序设计语言加以实现。
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