等腰三角形
一.选择题
1.（2018?江苏宿迁?3分）如图，菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（ ）
A. B. 2 C. 【答案】A
D. 4
【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.
【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4， ∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形， 又∵O是菱形对角线AC.BD的交点，∴AC⊥BD， 在Rt△AOD中，∴AO=×2×4=4，
，∴AC=2AO=4，∴S△ACD=OD·AC=
又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，∴，
∴S△COE=S△CAD=×4=故选A.
，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.
2.2018?内蒙古包头市?3分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（ ）
1
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【分析】由AB=AC知∠B=∠C，据此得2∠C+∠BAC=180°，结合∠C+∠BAC=145°可知∠C=35°，根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°，利用∠EDC=∠AED﹣∠C可得答案． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°， 又∵∠C+∠BAC=145°， ∴∠C=35°，
∵∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠AED=45°，
∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°， 故选：D．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
3. （2018?达州?3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在△BNA和△BNE中，
∴△BNA≌△BNE， ∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形，
2
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12， ∴DE=BE+CD﹣BC=5， ∴MN=DE=． 故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
4. （2018?资阳?3分）下列图形具有两条对称轴的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据轴对称及对称轴的定义，结合所给图形即可作出判断． 【解答】解：A.等边三角形由3条对称轴，故本选项错误； B.平行四边形无对称轴，故本选项错误； C.矩形有2条对称轴，故本选项正确； D.正方形有4条对称轴，故本选项错误； 故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义，常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
5.（2018?湖州?3分）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70° 【答案】B
【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°． 详解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=35°． 故选：B．
3
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