2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（含答案）

15.（本题满分20分）

对于给定的抛物线y?x2?ax?b，使实数p，q适合于ap?2(b?q). （1）证明：抛物线y?x2?px?q通过定点；

（2）证明：下列两个二次方程，x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根.

参考答案

一、选择题（每小题5分，共30分） 1—6 C D B A D C

二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 2?6； 8. A：

116；B： ； 9. 4； 10. 12； 11. 62； 12. 5211(,?1)(?,?1). 22三、解答题：（每题20分，共60分）

13. 证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得

原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0. 即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0. ∴ 2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,

?a?b?0?(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必须且只需：?b?c?0

?c?a?0? 解这个方程组，得a?b?c.

14. 解：（1）（6，4）；（t,t）.（其中写对B点得1分）………………………………3分

（2）∵S△OMP =

2312×OM×t， 23∴S =

212112×（6 -t）×t=?t+2t ＝?(t?3)?3（0 < t <6）．

3332∴当t?3时，S有最大值．…………………………………………8分

（3）存在．

由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：y?4x． 3 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y??bx?b，

33b?4?x?y?x解方程组?得??4?b ?3???y?4b?y??bx?b??4?b?3?∴直线ON与MT的交点R的坐标为(∵S△OCN ＝

3b4b,)． 4?b4?b11×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2． ················· …………………10分

32当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1， 如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，

则S△OR1T1＝1????RD1?OT ＝1?3b?b＝2.

224?b∴3b?4b?16?0， b =22?213.∴b1 ＝2?213，b2 ＝2?213（不合题意，舍去） 333此时点T1的坐标为（0，2?213）. ········· ……………………………………………15分 3② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E， ∵点E的纵坐标为4，∴由①得点E的横坐标为作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 S△R2NE＝

3b?12， byT2 CT1 D1 ED2 NR1 R2 B113b?124b96＝2. ?EN?D2 =?(3?)?(4?)?22b4?bb(4?b)P2∴b?4b?48?0，b=?4?16?4?48??213?2.

2OM（备用图）

Ax∴b1＝213?2，b2＝?213?2（不合题意，舍去）． ∴此时点T2的坐标为（0，213?2）． 综上所述，在y轴上存在点T1（0，15. 证明：（1）∵ap?2(b?q)

2?213），T2（0，213?2）符合条件．…20分 3apa?b代入抛物线y?x2?px?q中，得?y?x2?b?p(x?)?0 22a?x????y?x2?b?0?2??

得?解得：? ， a2

?x??0?y?a?4b

2??4?

aa2?4b2故抛物线y?x?px?q通过定点(?,)……………………10分

24∴q?（2）∵2q?ap?2b，∴p2?4q?p2?2?2q?p2?2(ap?2b)

=p2?2ap?4b=p2?2ap?a2?a2?4b =(p?a)2?(a2?4b)

∴(p2?4q)?(a2?4b)?(p?a)2?0 ∴p2?4q与a2?4b中至少有一个非负.

∴x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根.…………20分