8-6 一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷，求环心处的

B2??0I 2?r2??r2?R2?R1?r?R3 B3?2?r??0?I?I? 22??R3?R2??????0IR32?r2 B3? 22?rR32?R2r?R3 B4?2?r??0?I?I??0

B4?0

磁感强度B?r?的分布曲线略。 （磁场的安培环路定理）

17.电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量.

[分析] 由题16可得导线内部距轴线为r处的磁感应强度 B?r???0Ir 2?R2在剖面上磁感强度分布不均匀，因此，需从磁通量的定义??B?r??dS来求解.沿轴线方

?向在剖面砂锅取面元dS?ldr，考虑到面元上各点B相同，故穿过面元的磁通量d??BdS，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量 ??Bdr

S?R解 由分析可得单位长度导线内的磁通量

???0?0Ir?0Idr? （磁通量积分四步走） 22?R4?18. 如图11?28?a?所示，一根长直导线载有电流I1?30A，矩形回路载有电流I2?20A.试计算作用在回路上的合力.已知d?1.0cm，b?8.0cm,l?0.12cm.

[分析] 矩形上、下两段导线受安培力F1和F2的大小相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力的矢量和为零.而矩形的左右两段导线，由于载流导线所在处磁感强度不等，所受安培力F3和F4大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力.

解 由分析可知，线框所受总的安培力F为左、右两边安培力F3和F4之矢量和，它

们的大小分别为

13

F3? F4?故合力的大小为

?0I1I2l 2?d?0I1I2l

2??d?b??0I1I2l?IIl?012?1.28?10?3N 2?d2??d?b? F?F3?F4?合力的方向朝左，指向直导线. （安培力）

19.有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以

dI的变化率增长.若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示.求线dt圈中的感应电动势和自感系数.

[分析] 本题仍可用法拉第电磁感应定律???d?来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁dt通量就需用??B?dS来计算（其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1S?和B2之和）.

为了积分的需要，建立坐标系.由于B仅与x有关，即B?B?x?，故取一个平行长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS?ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS?dxdy，则上述积分实际上为二重积分）.本题在工程技术上又称为互感想象，也可用公式?M??MdI求解. dt解1 穿过面元dS的磁通量为

d??B?dS?B1?dS?B2dS?因此穿过线圈的磁通量为 ??d??2??x?d??0Iddx??0I ddx2?x??2dd2d?Id?0Id?Id30dx??dx?0ln

d2??x?d?2?x2?4再由法拉第电磁感应定律，有

???d???0d3?dI??ln? dt?2?4?dt??0d3

?lnI2?4由?m?MI,得互感系数：M? 14

解2 当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为

??线圈与两长直导线间的互感为 M?当电流以

?0dI3ln 2?4??0d3?ln I2?4dI变化时，线圈中的互感电动势为 dt

???MdI??0d3?dI??ln? dt?2?4?dt（先求磁通量，再求感生电动势和互感系数）

20.长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速度?绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差.

[分析] 首先应分清棒两端的电势差与棒上的动生电动势不是一个概念，它们之间的关系如同电源的路端电压与电源电动势之间的关系.在开路情况中，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）.

本题可直接用积分法求解棒上的电动势，此时积分上下限应为L?r和?r.另外，可将整个棒的电动势看作是OA棒与OB棒上电动势的代数和，如图13?8?b?所示.

解1 如图13?8?a?所示，在棒上距O点为l处取导体元dl，则

?AB??AB?v?B??dl???rL?r1??lBdl???BL?L?2r?

21?BL?L?2r? 2因此棒两端的电势差为 UAB???AB?当L?2r时，端点A处的电势较高.

解2 将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，其中

?OA?则

?AB??OA??OB???BL?L?2r? (动生电动势)

21.长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO?轴以角速度?旋转，棒与转轴间夹角恒为?，磁感强度B与转轴平行.求OP棒在图示位置的电动势. [分析] 本题既可以用法拉第电磁感应定律???112B?r2，?OB??B?L?r? 2212d?计算（但此时必须构造一个包含OPdt导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO)，也可用????v?B??dl来计算.由

l 15

于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的.

解 由上分析，得

?OP???v?B??dl

OP ?vBsin90cosadl

l?0 ?0???lsin??Bcos90???dl ?l ??Bsin?2?L012ldl??B?Lsin??

2由矢量?v?B?的方向可知端点P的电势较高. (动生电动势)

?122.金属杆AB以匀速v?2.0m?s平行于一长直导线移动，此导线通有电流I?40A.问：

此杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电势较高？

[分析] 本题可用公式????v?B??dl求解，可建立图13?10?a?所示的坐标系，所取导体

l元dl?dx，该处的磁感强度B??0I. 2?x解 根据分析，杆中的感应电动势为

?AB?2?x2?式中负号表示电动势方向由B指向A，从低到高，故点A电势较高. (动生电动势)

23.在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向. [分析] 本题可用公式????0I?0Iv?5??v?B?dl??vdx??ln11??3.84?10V ?AB?0.1m1.1md?求解，但用此公式须注意，式中?应该是线框运动至任意dt位置处时，穿过线框的磁通量.为此可设时刻t时，线框左边距导线的距离为?，如图

13?11?c?所示，显然?是时间t的函数，且有

d??v.在求得线框在任意位置处的电动势dt????后，再令??d，即可得线框在题目所给位置处的电动势.

解 设顺时针方向为线框回路的正方向.根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量

为

??相应电动势为

?l10?0Il2?Il??l1dx?02ln

2??x???2?? 16