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于是圆N的半径为y0,从而7?y0?5?y0,解得y0?1.因此,圆N的标准方程为
(x?6)2?(y?1)2?1.
(2)因为直线l//OA,所以直线l的斜率为
4?0?2. 2?0设直线l的方程为y?2x?m,即2x?y?m?0,则圆心M到直线l的距离
d?2?6?7?m5?m?55.
2m?5???BC?因为BC?OA?22?42?25,而MC2?d2??所以25??5,解得m?5或?,5?2?m??15.
故直线l的方程为2x?y?5?0或2x?y?15?0. (3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).
因为A(2,4),T(t,0),TA?TP?TQ,所以?22?x2?x1?2?t……①
?y2?y1?42因为点Q在圆M上,所以(x2?6)?(y2?7)?25,将①代入②,得
(x1?t?4)2?(y1?3)2?25.
于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x?(t?4)]?(y?3)?25上,从而圆
22(x?6)2?(y?7)2?25与圆[x?(t?4)]2?(y?3)2?25有公共点,所以
5?5?[(t?4)?6]2?(3?7)2?5?5,解得2?221?t?2?221.因此,实数t的取值范
围是[2?221,2?221].
21.(1)f'(x)?e?2ax,由题设得f'(1)?e?2a?b,f(1)?e?a?b?1,解得a?1,b?e?2.
x(2)由(1)知f(x)?e?x,∴f'(x)?e?2x,f''(x)?e?2,∴f'(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,??)上单调递增,所以f'(x)?f'(ln2)?2?2ln2?0,所以f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)max?f(1)?e?1.
(3)因为f'(x),又由(2)知,f(x)过点(1,e?1),且y?f(x)在x?1处的切线方程为
x2xxy?(e?2)x?1,故可猜测:当x?0,x?1时,f(x)的图象恒在切线y?(e?2)x?1的上方.
下证:当当x?0时,f(x)?(e?2)x?1
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设g(x)?f(x)?(e?2)x?1,x?0,则g'(x)?e?2x?(e?2),g''(x)?e?2,
xx由(2)知,g'(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,??)上单调递增, 又g'(x)?3?e?0,g'(1)?0,0?ln2?1,∴g'(ln2)?0, 所以,存在x0?(0,1),使得g'(x)?0,
所以,当x?(0,x0)?(1,??)时,g'(x)?0;当x?(x0,1)时,g'(x)?0,故g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,??)上单调递增,
又g(0)?g(1)?0,∴g(x)?e?x?(e?2)x?1?0,当且仅当x?1时取等号,故
x2ex?(2?e)x?1?x,x?0.
xex?(2?e)x?1ex?(2?e)x?1?x?lnx?1,即?lnx?1, 由(2)知,
xx所以e?(2?e)x?1?xlnx?x,即e?(1?e)x?1?xlnx?0成立,当x?1时,等号成立.
xx22.解:(1)由题意知:??2cos?,??[0,?],所以?2?2?cos?,??[0,],即
22??x?1?costx2?y2?2x?0,可化为(x?1)2?y2?1,y?[0,1],可得C的参数方程为?(t为
?y?sint参数,0?t??).
(2)设D(1?cost,sint),由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同, ∴
sint?0????3,解得tant?3,即t?,故D的直角坐标为(1?cos,sin),即
(1?cost)?133333(,). 2223.(1)∵a?0,b?0,∴
f(x)?|x?a|?|x?b|?|(x?a)?(x?b)|?|?a?b|?|a?b|?a?b?2.
(2)∵a?0,b?0且a?b?2,由基本不等式知道:2ab?a?b?2,∴ab?1 假设a?a?2与b?b?2同时成立,则由a?a?2及a?0,得a?1
222同理b?1,∴ab?1,这与ab?1矛盾,故a?a?2与b?b?2不可能同时成立.
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