1.2.3 直线与平面垂直
（苏教版高中数学·必修2）
南京外国语学校 郭佩华
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课 题：1.2.3 直线与平面垂直 授课教师：南京外国语学校 郭佩华 教 材：苏教版高中数学·必修2
【教学目标】
知识与技能：
①让学生经历数学概念的过程，理解直线与平面垂直的定义。 ②通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理。 ③通过创设情境，归纳并证明出线面垂直的性质定理。
④熟悉自然语言，图形语言和符号语言之间的转化，能够初步运用线面垂直的定义和判定、性质定理证明简单命题。
过程与方法：
在学生现有的空间观念的基础上，引导学生观察和联想实际生活情境，通过直观感知，操作确认的方法去探究空间中线面垂直的位置关系，概括出线面垂直的定义、判定定理，并探索证明性质定理。在学习过程中把握 “从特殊到一般，从抽象到具体”的方法和步骤，体会转化、正难则反等思想方法。
情感态度价值观：
通过创设问题情境，鼓励学生自己动手操作，让学生亲身经历探索的过程，提高数学学习的兴趣；鼓励学生尝试探索，在实践中提高自己的思辨能力并形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
【教学重点】
直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理。
【教学难点】
归纳直线与平面垂直的定义，探究线面垂直性质定理的证明。
【教学方法与教学手段】
问题探究法，启发式教学，探究式学习，结合多媒体课件。
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【教学过程】
一、
创设情境，启发定义
1. 回顾直线与平面的三种位置关系，引出直线与平面相交时的特殊情况——直线与平面垂直。
2. 学生通过生活中，几何体中线面垂直的实例，体会线面垂直的特征是“不歪不斜”。 3. 借助“比萨斜塔”的“斜”启发定义，引导学生把“线面”的关系转化为“线线”的关系去研究，再让学生亲自经历验证圆锥的轴与底面所有直线垂直的过程，从而形成定义。
设计说明 让学生通过操作，联想，感知“线面垂直”是“线面相交”的一种特殊情况，并且生活中存在着大量的“线面垂直”的位置关系。
在定义生成的过程中，采用了比萨斜塔这个“不垂直”的例子为“线面垂直”定义的产生搭建平台，体会到“斜”是因为“斜塔”与平面内的一条直线不垂直，要“不斜”就是平面内找不到直线与它不垂直，即必须与平面内任意一条直线都垂直。学生充分参与定义的形成过程，感悟线面关系到线线关系的“降维转化”思想，从“直观感知”层面深化到“理性思维抽象出数学定义”层面。
二、 数学建构，认识定义
1. 从直观感知入手，抓住线面“垂直”的特征是“不歪不斜”，即平面内找不到与它不垂直的直线，也就是说直线垂直于平面内的所有直线。让学生尝试给“线面垂直”下定义。
2. 辨析定义中的关键词“任意”。
3. 通过画图、写符号语言等多个环节进一步认识定义，体会定义中“双向叙述”的含义，并介绍垂线，垂面，垂足等概念。
设计说明 在对定义分析的过程中，始终抓住“线线垂直”和“线面垂直”互相转化这条主线索。通过对关键词“任意”的分析，使学生体会到“无数”不能代表所有，当直线与平面内无数条平行直线垂直时，直线不一定垂直于平面，这个辨析过程同时为判定定理做好铺垫。
体会定义“双向叙述”含义，定义中既体现了“用线线垂直定义了线面垂直”—— 即要说明直线与平面内的“任意一条”直线垂直才能证明线面垂直，同时也体现了“由线面垂直推得线线垂直”——即平面的垂线垂直于平面内的任意一条直线。
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三、 操作验证，感知判定
1. 通过检验“旗杆与地面是否垂直”的问题激发学生寻求判定线面垂直的新方法。 2. 通过以下几步，归纳出判定定理：①直观感知，猜想判定→②操作确认，验证判定→③合情推理，归纳判定→④几何画板，确认判定→⑤理性思维，认识判定。
设计说明 “直线和平面垂直的判定定理”不需要证明，只需要通过生活中的实例，直观感知并操作确认。 线面垂直判定定理的证明是以往教材中的一个教学难点，新教材通过直观感知和操作确认，再归纳得到线面垂直的判定定理，这种处理方式，使教学过程更加流畅，学生更容易接受．如何在不加证明的情况下，让学生心悦诚服的接受“判定定理”呢？ （1） 让学生体会到用定义去判定的难度，因为难以做到对每条直线一一检验，所以有必要寻找一个便捷的判定方法，从而激发学生去思考解决问题。 （2）
1.直观感知，猜想判定——发现垂直于一条直线不行，从而猜想“垂直于两条相交直线就能保证直线垂直于平面”，并通过生活中的现象验证其可行性。 2. 操作确认，验证判定——操作确认，通过折纸试验验证猜想。
3. 合情推理，归纳判定——思辨论证，根据试验模型画出图形，抽象归纳出判定定理；通过画图环节来辨析“两条相交直线不一定要要通过线面的交点”，从而深化认识并归纳出判定定理。
4. 几何画板，确认判定——通过几何画板的动态演示，再次验证结论的正确性，从而得到线面垂直的判定定理。可以告诉学生，在后续的学习中，我们可以运用向量工具完成判定定理的证明。
5. 理性思维，认识判定——提炼出符号语言和其中所蕴含的的数学思想。
四、 例题讲解，巩固新知
1. 尝试用定义和判定定理证明一些简单命题。
例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。2. 对例题的再认识，把握问题的本质与内涵。
设计说明 书本上的例1是放在定义之后，判定之前，此处调整为放在判定定理之后，证明的多样化，有助于发展学生思维，提高学生能力。解题时，让学生板演和评价，使学生得到充分的训练和表达，同时对证明格式提出规范性要求。
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证明之后，再对此题重新深刻理解，使学生认识到直线的平移不改变直线与平面的垂直关系。从直观的判断变为理性的思考，符合学生的认知规律。
五、 尝试探索，归纳性质
1. 由例1出发，转换条件和结论，得到新命题并尝试证明。 2. 由图形和符号语言，归纳出线面垂直的性质定理。
设计说明 性质定理的提出以例1为背景，与例1自然衔接，并用生活中的现象加以验证。定理的证明一定要让学生先尝试，在实践中提高自己的思辨能力，并深刻领悟到“正难则反”的思想。
定理的证明重点放在证明思路的探索上，让学生充分感悟间接证明的合理性和必要性对于证明的具体书写，让学生课后自己完成。
六、 总结反思，感悟数学
1.通过这节课的学习，我们学习了直线与平面垂直的定义，判定和性质。 2.体会本节课蕴含的数学思想，并在数学思想的指导下，预测未来所学内容。 设计说明 开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获。引导学生主动建构，形成知识体系。对于未来学习内容的预测，旨在感悟本节课的数学思想。
七、 课外作业，提高认识
1.证明：“直线与平面垂直的性质定理”。 2.书本 P41 7，P42 9
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