人教版数学九年级上册习题 小专题（九） 与圆的基本性质有关的计算与证明

小专题(九) 与圆的基本性质有关的计算与证明

1．如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE.

2．(南京中考)如图，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角，

(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝________；

(2)若⊙O的半径是1，AB＝2，求∠APB的度数．

3．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝45°.

(1)求∠ABD的度数；

(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．

[.Com][.Com]

4．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上．

(1)若∠AOB＝56°，求∠ADC的度数； (2)若BC＝6，AE＝1，求⊙O的半径．

5．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.

(1)求CD的长；

(2)现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

6．(安徽中考)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.

(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于点G，F，E.求证：

(1)F是BC的中点；

(2)∠A＝∠GEF.

.

8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．

(1)求证：△ABC为等边三角形； (2)求DE的长；

(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．证明： ∵AB∥CE， ∴∠C＝∠BAC.

又∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC. ∴∠C＝∠CAD. ∴AE︵＝CD︵.

∴AE︵＋AC︵＝CD︵＋AC︵. ∴CE︵＝AD︵.

∴AD＝CE.

2.(1)90° (2)连接OA，OB，AB.

∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1，又∵AB＝2，

∴OA2＋OB2＝AB2，由勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°. ∴∠APB＝1

2

∠AOB＝45°.

3.(1)∵∠C＝45°， ∴∠A＝∠C＝45°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.

∴∠ABD＝45°.(2)连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，

∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3， ∴AB＝6，

∴⊙O的半径为3. 4.(1)∵OA⊥BC， ∴AC︵＝AB︵，

1

∴∠ADC＝∠AOB.

2

∵∠AOB＝56°， ∴∠ADC＝28°.(2) ∵OA⊥BC，

∴CE＝BE.设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OB＝r， 在Rt△BOE中，OE2＋BE2＝OB2，

∵BE＝3，则32＋(r－1)2＝r2.解得r＝5. 5.(1)∵直径AB＝26 m， 11

∴OD＝AB＝×26＝13(m)．

22∵OE⊥CD， 1

∴DE＝CD.

2

∵OE∶CD＝5∶24， ∴OE∶ED＝5∶12， ∴设OE＝5x，ED＝12x.

∴在Rt△ODE中，(5x)2＋(12x)2＝132.解得x＝1. ∴CD＝2DE＝2×12×1＝24(m)．

(2)由(1)得OE＝1×5＝5(m)，延长OE交圆O于点F， ∴EF＝OF－OE＝13－5＝8(m)． ∴8÷4＝2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 6.(1)连接OQ，

∵PQ∥AB，PQ⊥OP， ∴OP⊥AB. ∵AB＝6， ∴OB＝3.

∵∠ABC＝30°，

∴PB＝2OP.在Rt△PBO中，PB2＝OP2＋OB2.设OP＝x，则PB＝2x.则(2x)2＝x2＋32.解得x＝3， ∴OP＝3.由勾股定理得PQ＝OQ2－OP2＝32－（3）2＝6.

(2)连接OQ，由勾股定理得PQ＝OQ2－OP2＝9－OP2.要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP⊥BC， ∵∠ABC＝30°，

13

∴OP＝OB＝，此时PQ最大值＝22

93

9－＝3. 42

7.证明：(1)连接DF，

∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， 1

∴BD＝DC＝AB.

2

∵DC是⊙O的直径， ∴DF⊥BC.

∴BF＝FC，即F是BC的中点． (2)∵D，F分别是AB，BC的中点， ∴DF∥AC， ∴∠A＝∠BDF. ∵∠BDF＝∠GEF， ∴∠A＝∠GEF.

8.(1)证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∵点D是BC的中点，

∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB＝AC. ∵AB＝BC， ∴AB＝BC＝AC.

∴△ABC为等边三角形． (2)连接BE. ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°. ∴BE⊥AC.

∵△ABC是等边三角形，

∴AE＝EC，即E为AC的中点．

∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线， 11

∴DE＝AB＝×2＝1.

22

(3)存在点P使△PBD≌△AED，由(1)(2)知，BD＝ED，

∵∠BAC＝60°，DE∥AB， ∴∠AED＝120°. ∵∠ABC＝60°， ∴∠PBD＝120°.

∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.