北京四中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)

北京四中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）

试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分，考试时间120分钟。

卷（Ⅰ）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1. 设i为虚数单位，则? A. i

B. ?i

C. 1

D. －1

1i2. 下列函数求导运算正确的个数为 ①(2x?1)??2；②(log2x)??A. 1

B. 2

1?；③ex?ex；④?cosx???sinx。 xln2??

C. 3 D. 4

3. 下列函数中，在(0,??)上为增函数的是 A. y?sin2x 4. 由直线x?A.

B. y?xex

C. y?x3?x

D. y?1 x?111,x?2，曲线y?及x轴所围成封闭图形的面积是 2x

B.

15 417 4 C.

1ln2 2

D. 2ln2

5. 函数f(x)?x?2cosx在[0,?]上的极大值点为 A.

? 6 B.

2? 32 C.

2? 22

2D.

5? 66. 用数学归纳法证明1?2??(n?1)?n?(n?1)?n(2n2?1)?2?1?时，

322由n?k(k?N*)的假设到证明n?k?1时，等式左边应添加的式子是

A. (k?1)2?k2 C. (k?1) 7. 已知函数f(x)?2

B. (k?1)2?2k2 D.

1(k?1)[2(k?1)2?1] 31，则y?f(x)的图象大致为

ln(1?x)?x

1

8. 设A(0,0),B(4,0),C(t?4,4),D(t,4),t?R，记N(t)为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的值域为

A. {9，10，11}

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

9. 已知复数z?(2?i)(1?i)，则z的虚部为__________，z在复平面内对应的点在第______象限。 10. 直线y?B. {9，10，12}

C. {9，11，12}

D. {10，11，12}

1x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数b＝________。 211. 观察下列等式

照此规律，第n个等式为____________。 12. 下列命题中：

①若f(x)存在导函数，则f?(2x)?[f(2x)]?； ②若函数h(x)?cos2x?sin2x，则h?(③若函数g(x)?(x?1)(x?2)?12)??1；

)?1?2?3(x?2013)(x?2014)，则g?(2014??

2012?2013；

32④若三次函数f(x)?ax?bx?cx?d，则“a?b?c?0”是“f(x)有极值点”的

充要条件。

其中真命题的序号是_____________。

三、解答题：本大题共3小题，共40分。 13. （本小题满分共12分）

2

在数列{an}中，a1?1,an?1?（Ⅰ）计算a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明。 14. （本小题满分共14分） 设f(x)??an,n?1,2,3,3an?1。

1312x?x?2ax。 32（Ⅰ）当a?3时，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当0?a?2时，f(x)在[1，4]上的最小值为?值。

15. （本小题满分共14分） 已知函数f(x)?ax?316，求f(x)在该区间上的最大332x?1(x?R)，其中a?0。 2（Ⅰ）若a?1，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （Ⅱ）若在区间???11?,?上，f(x)?0恒成立，求a的取值范围。 22?? 卷（Ⅱ）

一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 1. 若f(x)?lnx,3?a?b，则 x

B. f(a)?f(b) D. f(a)f(b)?1

A. f(a)?f(b) C. f(a)?f(b)

2. 满足|z?1?i|?4的复数z在复平面上对应的点组成的图形是 A. 线段

B. 椭圆

C. 圆

D. 双曲线

3. 已知可导函数f(x)的导函数f?(x)的部分图象如图所示，则函数f(x?1)的部分图象可能是

3

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

4. 若P?a?a?7,Q?a?3?a?4(a?0)，则P、Q的大小关系是__________。 5. 如图所示，正方形的四个顶点分别为O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），曲线y?x2经过点B。现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________。

6. 设函数f(x)在R上存在导数f?(x)，对?x?R有f(?x)?f(x)?x2，且在(0,??)上，f?(x)?x。若f(2?a)?f(a)?2?2a，则实数a的取值范围为_________。

三、解答题：本大题共2小题，共20分。 7. （本小题满分共8分）

ex设f(x)?，其中a为正实数。 21?ax（Ⅰ）当a?4时，求f(x)的极值点； 3（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。 8. （本小题满分共12分）

1x2y2如图，椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距

2ab离为10。不过原点．．．．O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分。

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