固体物理习题解答 (3)

2ll2将?22，sin??2代入2ak?ll?k???2?mkh?2?sin?得：??2?22?l221/2m（h?k?l）?2??2a?(l?k2)1/2m(h2?k2?l2)1/2?(k2?l2)1/2当m=1，h2=0时，上式可以成立

???????????????kk?k?khk当h=0时，h只有k,j分量，即0只有k分量，而,k亦只有y，0z分量，即衍射光线在yz平面上。

5. 设在氯化钠晶体中， 位于立方晶胞的（0 0 0） ，（1/2 1/2 0） ，（1/2

0 1/2）与（0 1/2 1/2）诸点；而Cl?位于（1/2 1/2 1/2），（0 0 1/2），（0 1/2 0）与（1/2 0 0）诸点。试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。 解：

p25中的（2.4.11）可知：

??Imh,mk,ml???fjcos2?(mhuj?mkvj?mlwj)???j???fsin2?(mhu?mkv?mlw)??jjjj??j?对于氯化钠晶胞：

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Imh,mk,ml??f??f?cos?(mk?mh)?f?cos?(mk?ml)?f?cos?(mh?ml)???NaNaNa?Na??fcl?cos?(mk?mh?ml)?fcl?cos?ml?fcl?cos?mk?fcl?cos?mh

（1）当衍射面指数全为偶数时，I?16(fNa??fcl?)2衍射强度最大， （2）当衍射面指数全为奇数时，I?16(fNa?

6. 试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为f。

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?fcl?)由于cl与Na具有不同的散

2??射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。

解：几何结构因子

??????????ik?rjF(k)??fje其中rj?uja?vjb?wjc

??????????????????????**K?k?k0?Kh'k'l'?mKhkl?m(ha?kb?lc*) ???????????????***a?2?(b?c)/?,b?2?(c?a)/?,c?2?(a?b)/?,

?????a?(b?c)为晶胞的体积。

j?????rj?uja?vjb?wjc。

金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为（0 0 0）， （1/2 1/2 1/2 ），（1/2 0 1/2），（0 1/2 1/2），（1/4 1/4 1/4），（3/4 3/4 1/4），（3/4 1/4 3/4），（1/4 3/4 3/4）且八个原子为同种原子，

?金刚石型结构的几何结构因子为：

111???i?m(h?k?l)F(K)?f?fei?m(h?k)?fei?m(h?l)?fei?m(l?k)?fe222331i?m(h?k?l)222313i?m(h?k?l)222133i?m(h?k?l)222?fe

?fe?fe??????7. 设一二维格子的基矢a1?0.125nm,a2?0.250nm,a1与a2夹角a=120，试画出

?????第一与第二布里渊区。二维倒格子基矢b1,b2与正格子基矢间有如下关系：

?????bi?aj?2??ij,?ij?{10

i?j,i?j?

解：

令

a1?0.125nm;a2?0.250nm ??????????a1?a,则a1?ai a2??ai?3a j??????bi?aj?2??ij??2??2?????2???b1?i?j，b2?j

a3a3a11

2?令?b。则3a???b1?（b3i+）j ? ?b2?bj中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。

8. 铜靶发射??0.154nm的X射线入射铝单晶，如铝（1 1 1）面一级布拉格

反射角??19.2?，试据此计算铝（1 1 1）面族的间距d与铝的晶格常数。 解：

???2?????2?????2??**a?i，b?j，c*?kaaa h?k?l?1，m?1???2??2??2?????2?kh?i?j?k，kh?aaaa2dhklsin???

dhkl?3

?2sin19.20?0.234nm

???2?kh?dhkl2?aa?3?2?dhkl

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3dhkl?0.405nm第三章 晶体的结合

1. 试证明以等间距排列的一维离子晶体的马德隆常数等于2ln2。

证明：设相邻原子间的距离为r，一个原子的最近邻、次近邻……原子均有2个，

该晶体的马德隆常数为：

222M=2???+……

234111 =2(1???……）

234?1 =2[?n?1(?1)n?1]

n =2ln2

? 得证

2. 由实验测得NaCl晶体的密度为2.16g/cm3 , 它的弹性模量为2.14×1010

N/m2 ，试求NaCl晶体的每对离子内聚能Na和Cl的原子量分别为23和35.45）

Uc。（已知马德隆常数M=1.7476, N解：NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为r0

晶胞基矢长为 2r0， 一个晶胞中含有四对正负离子对 ? 一个原胞（一个NaCl分子）的体积为：

m(23?35.45)?10?6 v?2r= ??N2.16?6.02?102330 ? NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为：

?8 r0?2.82?10cm? m0.2n82 由晶体体积弹性模量的公式：

(n?1)Me2 ， Bm?436??0?r0并且由于NaCl晶体为面心立方结构，参数?=2，故由上式可得：

36??0?r04Bm n?1?2Me36?3.14?8.85?1012?2?(0.282?10?9)4 =1??2.41?1010 ?1921.7476?(1.6?10) =7.82

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由平衡时离子晶体的内聚能公式：

NMe21Uc??(1?)，

4??0r0n将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为：

UcMe21??(1?) N4??0r0n1.7476?(1.6?10?19)21(1?) =??12?194?3.14?8.85?10?0.282?107.82

??1.24?10?18J

3. LiF晶体具有NaCl结构，已由实验测得正负离子间的最近距离r0=0.2014nm(1

摩尔的内聚能Uc＝1012.8kJ/mol, 以孤立离子系统的内能为能量的零点)。试计算该晶体的体积弹性模量Bm，并与它的实验植6.71?1010N/m2进行比较。

NMe21解： 由平衡时离子晶体的内聚能公式：Uc??(1?)，其中M=1.784

4??0r0n 计算1mol的内聚能时，N=Na=6.02×1023 ，且r0=0.2014，计算得： n=(1?4??0r0Uc?1) 2NMe4?3.14?8.85?10?19?0.2014?10?9?(?1012.8?103)] =[1?23?1926.02?10?1.748?(1.6?10) =6.33

(n?1)Me2? Bm?4 36??0?r0LiF晶体具有NaCl结构，将 ?=2，n =6.33, r0=0.2014代入上式得：晶体的弹性模量为:

(n?1)Me21 0 2 Bm?= 7.242×10(N/m)

36??0?r04相对误差为：

4. 试说明为什么当正负离子半径比r?/r??1.37时不能形成氯化铯结构，当

7.242?6.71?100%?7.9%

6.71r?/r??2.41时不能形成氯化钠结构，当r?/r??2.41时，将形成什么结构？

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