固体物理习题解答 (8)

其中m是单个He3粒子的质量。

?3π??kF??3π2n????

?m?

可得：

2313213EF?

?k??3π????? 2m2m?m?22F22代入数据，可以算得：EF ＝6.8577×10－23 J = 4.28×10－4 eV. 则：TF?EF＝4.97 K. k4. 金属钾在低温下的摩尔电子比热的实验值为：ce＝2.08 T mJ／mol·K，试用

自由电子气模型求它的费米能EF及状态密度g(EF)。

解：考虑费米球模型，在费米面以内的粒子吸收能量跃出费米面的数目期望是：

N?c??3EF?kT2E1/2dE?9kT N4EF 这些粒子共吸收能量：

3N?kT22T27kB2E???

N4EF 则相应的热容量为：

2T?E27kBCve?????T

?T4EF

227kB其中：???

4EF由题设数据，代入上式，可求出EF及 g(EF)：

227kBNAEF?＝2.235×10－3 eV

4g?EF??3nVN3NA=2.425×1045 ?2EF2EF

5. 银是一价金属，在T＝295 K时，银的电阻率ρ＝1.61×10－6Ω·cm，在T＝

20 K时，电阻率ρ＝0.038×10－8Ω·cm。求在低温和室温时电子的自由程。银的原子量为107.87，密度为10.5 g／cm3。 解：由

30

??

可得：

1??mVF ne2ll?mVF ne2? 又：

n?NNMNNA?0?NA ????0???VMVNAMMs

其中NA为阿伏加德罗常数，Ms为Ag的原子量，?0为Ag的密度。将当 T＝295 K时，l = 3.7×10 m, 当 T＝20 K时，l = 1.6 m.

在计算过程中，已取VF =106 m.

－4

上式代入l的表达式，并代入数据可得：

6. Hunter S.C.和F.R.N.Nabarro曾计算铜中每厘米位错线引起的电阻率如下： 刃型位错

－20

??E＝0.59×10Ω·cm

螺型位错??S＝0.18×10－20Ω·cm

假定刃型位错和螺型位错有相同的密度（位错密度为1cm2有多少条位错线）。已知位错产生的电阻率??＝2×10－8Ω·cm，问铜中的位错密度是多少？

解：设密度为x，由题意可以列出方程：

??x?

?E???S??x???

??＝2.6×1012

???E???S?7. 在室温下金属铍的霍尔系数为2.44×10－10 m3·C－1，求铍中空穴密度。

解：由霍尔系数定义RH?1得： pep?1＝2.56×1028 m－3 e?RH

8. 试计算Cs在T＝1000 K时热电子发射的电流密度。

解：电子热发射的电流密度函数为：

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j?4πem?kT?/?e3?2???kT

由教材表6-3可查得Cs的功函数为1.81eV。代入数据到上式中可以算得：

j＝9.2×102 A·m－2

9. Al等离子体能量??p的实验值为15.3 eV，按照自由电子气模型的电子密度

为n＝18.06×1022 m－3，求??p的理论值。

解：由等离子体振荡频率关系式：

ne2 ??ε0m2p 故：

??p??en＝15.7 eV. ε0m

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第七章 周期场中的电子态

1. 一维周期场中电子的波函数?k?x?应满足布洛赫定理。若晶体常数是a, 电子

的波函数为

xi?x?sin?;??k??a 3x?ii??k?x??icos?;a ?iii??k?x???f?x?la??f是某个确定的函数?，l????试求电子在这些状态的波矢。 解：

Tl??e????ik?Rl??a?i??k?x?a??sin?x?a??ei??k?x??eika?k?x??ka??,?k??a3??x?a??ei??k?x??eika?k?x?a?ii??k?x?a??icos?ka??,?k??a??l???l???

?iii??k?x?a???f?x?a?la???f?x??l?1?a??l????f?x?la????x?'k??ka?0,?k?0

2. 电子在周期场中的势能

12m?2?b2??x?na??,当na?b?x?na?b?? V（X）= 2 0,当?n-1?a?b?x?na?b 且a=4b,?是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。

解：势能曲线为：

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a1a112V??2aV?x?dx??4am?2?b2??x?na??dx??a?2a?42?m?a9622

3. 用近自由电子模型处理上题，并求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。 解：

in2?xain2?xaV?x???Vnen?V0??Vne'n为简单计算，令V0?02??ix1aV1??2aV?x?eadxa?2m?2a2?4?34??ix1aV2??2aV?x?eadxa?2m?2a2?32?2m?2a2?第一个禁带宽度为：2V1?2?3m?2a2第一个禁带宽度为：2V2?16?2

?2?71?4. 已知一维晶体的电子能带可写成E?k???coska?cos2ka??,式中a2ma?88?是晶格常数。试求： （i）能带的宽度；

（ii）电子在波矢k的状态时的速度； （iii）能带底部和顶部电子的有效质量。 解：

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