固体物理习题解答 (7)

U0t???D0???gt???d? 2????D0??V?2?23d?22?Vt?V?D42316?Vt

故，总的零点振动能为

U0?U0l?2U0t

??V?V44??2?DD16?2Vl316?2Vt33?V1?12?6?2N3???3?3??Vs??D 216?3?VlVt?V9N???D8

6. 一根直径为3mm的人造蓝宝石晶体的热导率，在30K的温度达到一个锐的极

大值，试估计此极大值。（蓝宝石在T??D?1000K时，

3cv?10?1TJ?m??3K?）

解：在低温情况下，热导率的表达式为

13??c??l

其中，cv?10?1T3J?m?3?K?1，而且由于直径很小，自由程l?d?3mm，所以

??2.7?

而声速?由德拜模型求取，在德拜模型中，?N为原胞个数?

?30?N?MAl2O3?30?N??D???Vs???V?MAlO?V?23?21321313??30????DkBV?V??， ?s??D??MAlO?s?23???2故，

?kVs?DB??30??????MAlO?23??2?13?6.84?103m?s?1,(其中?=4g?cm-3)

??Vs?6.84?103m?s?1，代入??2.7?中，得

??1.85?104W?m?1?K?1

7. Na和Cl的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm，在?100? 25

方向可以看作是一组平行的离子链。离子间距d?0.28nm。NaCl晶体的杨氏模量为5?1010N?m?2，如果全放射的光频率与q?0的光频模频率相等，求对应的光波波长（实验值为61?m）。

解：在一维双原子链模型中，q?0时，光频模频率为

12??0???2?????11????? ?M1M2??杨氏模量为

Y?故，

L??F?d?? ??2A??l?Td??dY

光波波长为

2???cT?c?? ?2?c12???11??2??????MM2????12?c??11??2dY?????MM?12????54.6?m12

8. 立方晶体有三个弹性模量C11，C12和C44。铝的C11?10.82?1010N?m?2，

C44?2.85?1010N?m?2，铝沿?100?方向传播的弹性纵波的速度?l?波速度?t?C11?，横

C44?，Al的密度??2.70?103kg?m?3。求德拜模型中铝的振动

模式密度g???。

解：德拜模型中，振动模式密度为

3V?2g????23,????D?

2?Vs其中，

26

?D??将?l??6?N?11?12?， V???3?s33?Vs3?VlVt??V?213C11?，?t?C44?代入上式

11?12? ???333?Vs3?VlVt?33??22????1???????2???? 3??C11?C?44??????2.075?10?11m?3?s3所以，

Vs?3.64?103m?s?1

代入?D中，

13?D???6?N??Vs

?V?2132?6?N?MAl????Vs?V?MAl??6????? ?Vs?MAl??5.56?1013rad?s?1213故，

3V?2g????23

2?Vs3?122?2.075?10?V2 2?3014?3.157?10?12?2V?其中，???D?5.56?1013rad?s?1。

27

第六章 金属电子论

1. 导出一维和二维自由电子气的能态密度。

解：一维情形

由电子的Schr?dinger方程：

?2d2????E? 2mdx2

得自由电子波函数解：dz?2?

?2k2且有：E?

2mLLL2mdE dk?dk?2πππ?2E由周期性边界条件：?(x?L)??(x) 得：

k?2πn L 在k?2mE/?到k?dk区间：

dZ?2?

二维情形

LLL2mdE dk?dk?2πππ?2E2m?1那么：dZ?Lg1(E)dE，其中：g1(E)?E2

2π?同上，由电子的Schr?dinger方程：

?22????E? 2m

得自由电子波函数解：?(r)?

1ik?re，S?L2 S?2k2?222?(kx?ky) 且：E(k)?2m2m由周期性边界条件：

??(x?L,y)??(x,y) ???(x,y?L)??(x,y)2π2πnx，ky?ny 得：kx?LL在k?2mE/?到k?dk区间：

28

SL2mL2dZ?2?dk?2?2πkdk?2dE 2(2π)2ππ?

2. 若二维电子气的面密度为ns，证明它的化学势为：

??π?2ns?(T)?kBTln?exp??mkBT?????1? ??

那么：dZ?Sg2(E)dE

其中：g2(E)?m π?

解：由前一题已经求得能态密度：g(E)?

电子气体的化学势?由下式决定：

L2m?dEN??g(E)LdE?2??E-??/kT

B0π?0e?1N令?E???/kBT?x，并注意到：ns?2

L?2?1kBTm?xns??e?1?dx

π?2???/kBTm π?

kBTm?dex ?

π?2???/kBTex?ex?1?

kBTmexlnx ? π?2e?1??/kTB? ?kBTmln?e?/kBT?1? 2π?那么可以求出?：

??π?2ns?(T)?kBTln?exp??mkBT?????1? ??

证毕。

3. He3是费米子，液体He3在绝对零度附近的密度为0.081 g／cm3。计算它的

费米能EF和费米温度TF。

解：He3的数密度：

n?NNMN??????? VMVMm29

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